Mnożenie sum algebraicznych

Uwaga: Nie znalazłem dodatkowych materiałów przesłanych przez Ciebie — poniższy tekst powstał na podstawie dostarczonego opisu i rozszerza wyjaśnienia.

Teoria — zasada działania

Mnożąc sumy algebraiczne (np. wielomiany), korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania. Oznacza to, że każdy wyraz jednej sumy musi zostać pomnożony przez każdy wyraz drugiej sumy, a otrzymane iloczyny dodajemy.

Ogólna zasada: jeśli mamy dwa nawiasy, np. \( (A + B + \dots)\cdot(C + D + \dots) \), to każdy element z pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy element z drugiego i sumujemy wszystkie otrzymane jednomiany.

Co warto pamiętać

• Każdy z każdym: nie można pominąć żadnego iloczynu — sprawdź, czy dla każdej pary wyrazów wykonałeś mnożenie.
• Porządek obliczeń: pomagają mnożyć kolejno każdy składnik pierwszego nawiasu przez wszystkie składniki drugiego (lub odwrotnie).
• Łączenie wyrazów podobnych: po obliczeniu wszystkich iloczynów uporządkuj jednomiany według stopnia (najczęściej malejąco) i zsumuj wyrazy podobne (te same potęgi tej samej zmiennej).
• Zwracaj uwagę na znaki: mnożenie liczb dodatnich i ujemnych oraz zmiennych musi być poprawnie zapisane (np. \( (-3)\cdot 4x = -12x \)).
• Stopień jednomianu: stopień iloczynu jednomianów to suma stopni czynników (np. \( x^2\cdot x = x^3 \)).

Szczegółowy opis kroków

1. Rozpisz mnożenie jako sumę wszystkich możliwych iloczynów pojedynczych wyrazów.
2. Oblicz każdy iloczyn: pomnóż współczynniki liczbowe i dodaj wykładniki zmiennych zgodnie z regułą mnożenia potęg.
3. Uporządkuj powstałe jednomiany według stopnia (opcjonalnie) lub w inny czytelny sposób.
4. Połącz wyrazy podobne: dodaj lub odejmij współczynniki tych jednomianów, które mają taką samą zmienną i ten sam wykładnik.
5. Uprość wyrażenie — usuń nawiasy i zapisz wynik w postaci standardowej (np. malejąco według stopni).

Przykład

Zadanie: Wyznacz iloczyn \( (2x-3)\cdot(x^2+4x-5) \) i zapisz w postaci uproszczonej.

Wyjściowe wyrażenie: \( (2x-3)\cdot(x^2+4x-5) \)

Krok 1 — rozpisanie wszystkich iloczynów:

• \(2x\cdot x^2\)
• \(2x\cdot 4x\)
• \(2x\cdot(-5)\)
• \((-3)\cdot x^2\)
• \((-3)\cdot 4x\)
• \((-3)\cdot(-5)\)

Krok 2 — obliczamy każdy iloczyn:

• \(2x\cdot x^2 = 2x^3\)
• \(2x\cdot 4x = 8x^2\)
• \(2x\cdot(-5) = -10x\)
• \((-3)\cdot x^2 = -3x^2\)
• \((-3)\cdot 4x = -12x\)
• \((-3)\cdot(-5) = 15\)

Krok 3 — grupowanie wyrazów podobnych i dodawanie współczynników:

\[ 2x^3 + (8x^2 - 3x^2) + (-10x - 12x) + 15 = 2x^3 + 5x^2 - 22x + 15 \]

Wynik (postać uproszczona): \(2x^3 + 5x^2 - 22x + 15\)

Wskazówki i najczęstsze błędy

• Nie pomijaj iloczynów mieszanych — lepiej rozpisywać kolejno niż wykonywać wszystko „w głowie”.
• Upewnij się, że łączysz tylko wyrazy podobne (te same potęgi tej samej zmiennej).
• Pamiętaj o znakach: dodatni \(\times\) ujemny = ujemny, a ujemny \(\times\) ujemny = dodatni.
• Przy większych wielomianach pomocne jest zapisanie tabeli lub krótkich kolumn, by nie zgubić żadnego iloczynu.

Wzory skróconego mnożenia — zapowiedź

Niektóre iloczyny szczególnych wyrażeń prowadzą do stałych, często używanych wzorów. Przykłady:

• \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
• \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
• \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)

Takie zależności nazywamy wzorami skróconego mnożenia. Pozwalają one szybciej mnożyć pewne typowe wyrażenia i będą omówione szczegółowo na kolejnej lekcji.