Twierdzenie Pitagorasa — Twoja „supermoc” w zadaniach z geometrii (Egzamin 8-klasisty)
Hook / Misja
Wyobraź sobie, że masz znaleźć najkrótszą drogę na skróty, długość przekątnej prostokąta albo brakujący bok w trójkącie. Misja brzmi: policzyć brakującą długość szybko, pewnie i bez zgadywania.
Do tego służy Twierdzenie Pitagorasa — ale działa tylko w jednym, konkretnym przypadku.
Cel lekcji
- Wiesz, kiedy wolno użyć twierdzenia Pitagorasa.
- Umiesz rozpoznać przeciwprostokątną.
- Potrafisz policzyć brakujący bok (także z pierwiastkiem) i sprawdzić, czy wynik ma sens.
Kiedy można stosować (warunek!)
Twierdzenie Pitagorasa stosujemy tylko w trójkącie prostokątnym, czyli takim, który ma jeden kąt 90°.
Jeśli w zadaniu nie ma kąta prostego (albo nie wynika on z rysunku/opisu), to ten wzór nie musi pasować.
Treść twierdzenia
Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(a\) i \(b\) oraz przeciwprostokątnej \(c\) zachodzi:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Ważne: zwyczajowo \(c\) oznacza przeciwprostokątną, czyli bok naprzeciw kąta 90°.
Jak rozpoznać przeciwprostokątną \(c\)
- Najpierw znajdź kąt prosty (90°) — na rysunku często jest oznaczony małym kwadracikiem.
- Bok leżący naprzeciw tego kąta to przeciwprostokątna (\(c\)).
- Dwa boki, które tworzą kąt 90°, to przyprostokątne (\(a\) i \(b\)).
Podpowiedź: przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.
Algorytm liczenia brakującego boku (krok po kroku)
- Sprawdź warunek: czy to na pewno trójkąt prostokątny?
- Oznacz boki: wybierz \(c\) jako przeciwprostokątną, a pozostałe jako \(a\) i \(b\).
- Wstaw do wzoru \(a^2+b^2=c^2\) i zdecyduj, co liczysz.
Gdy brakuje przeciwprostokątnej \(c\)
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Gdy brakuje przyprostokątnej (np. \(b\))
\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]
- Policz: najpierw potęgi, potem dodawanie/odejmowanie, na końcu pierwiastek.
- Sprawdź sens: długość musi być dodatnia, a \(c\) powinna wyjść największa.
Przykład 1 — liczymy przeciwprostokątną
\(a=3\), \(b=4\).
\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Przykład 2 — liczymy brakującą przyprostokątną
\(c=13\), \(a=5\).
\[ b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]
Zastosowanie: przekątna prostokąta i kwadratu
Przekątna prostokąta o bokach \(x\) i \(y\):
\[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Przekątna kwadratu o boku \(s\):
\[ d = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2} \]
Pułapka
- Najczęstszy błąd: podstawienie do wzoru złego boku jako \(c\). \(c\) jest naprzeciw kąta 90° i jest najdłuższa.
- Gdy liczysz przyprostokątną, w środku pierwiastka jest różnica \(c^2-a^2\), a nie suma.
Proste uproszczenia z pierwiastkami
- \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \)
Sprawdź się
- \(a=6\), \(b=8\). Oblicz \(c\).
- \(c=10\), \(a=6\). Oblicz \(b\).
- Prostokąt \(x=9\), \(y=12\). Oblicz \(d\).
- Uprość \( \sqrt{72} \).
Odpowiedzi
- \(c=10\).
- \(b=8\).
- \(d=15\).
- \(6\sqrt{2}\).
W skrócie: najpierw upewnij się, że jest kąt 90°, potem znajdź przeciwprostokątną \(c\), zastosuj \(a^2+b^2=c^2\) i uprość pierwiastki, jeśli trzeba.
