16. Twierdzenie Pitagorasa – zastosowanie w trójkącie prostokątnym i na przekątnych
Przekątna prostokąta jest dłuższa od każdego boku, ale krótsza od drogi wzdłuż dwóch boków. Jej dokładną długość znajdziesz dzięki trójkątowi prostokątnemu.
Po tej lekcji: Obliczysz brakujący bok trójkąta prostokątnego i przekątną prostokąta oraz sprawdzisz prostokątność z długości boków.Na początek: Znasz kwadraty liczb i pierwiastek kwadratowy, np. √49 = 7. Umiesz rozpoznać kąt prosty.
Najpierw znajdź przeciwprostokątną
W trójkącie prostokątnym boki tworzące kąt prosty to przyprostokątne a i b. Bok naprzeciw tego kąta to przeciwprostokątna c. Twierdzenie Pitagorasa mówi: a² + b² = c².
To zależność między polami kwadratów zbudowanych na bokach, nie między samymi długościami. Przeciwprostokątna jest najdłuższa. Jej nazwa nie zależy od tego, czy na kartce leży na dole, czy ukośnie.
{"version":1,"elements":[{"type":"polygon","attrs":{"points":"170,55 170,265 450,265","fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"path","attrs":{"d":"M170 250h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":120,"y":160,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"6 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":310,"y":300,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"8 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":360,"y":145,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"10 cm"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":170,"cy":265,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":148,"y":290,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"A"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":170,"cy":55,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":170,"y":35,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"B"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":450,"cy":265,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":472,"y":270,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"C"}}]}
Szukamy najdłuższego boku
Przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm.
- Zapisujemy c² = 6² + 8².
- Obliczamy kwadraty: c² = 36 + 64 = 100.
- Pierwiastkujemy: c = √100 = 10 cm. Długość jest dodatnia.
- Kontrola: 10 > 8 i 10 < 6 + 8.
Szukamy przyprostokątnej
Przeciwprostokątna ma 13 cm, jedna przyprostokątna 5 cm. Zamiast dodawania potrzebne jest odejmowanie:
- 5² + b² = 13².
- b² = 169 − 25 = 144.
- b = 12 cm.
- Kontrola: 25 + 144 = 169.
Przekątna tworzy trójkąt prostokątny
W prostokącie sąsiednie boki są prostopadłe. Przekątna d jest przeciwprostokątną trójkąta z tych boków, więc d² = a² + b². Dla boków 5 cm i 12 cm otrzymujemy d = √169 = 13 cm. W kwadracie o boku a: d² = 2a², więc d = a√2. Na przykład bok 4 cm daje przekątną 4√2 cm; to wynik dokładny.
Twierdzenie odwrotne
Jeżeli kwadrat najdłuższego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych, trójkąt jest prostokątny. Dla boków 7, 24, 25: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Kąt prosty leży naprzeciw boku 25.
Nie zakładaj kąta prostego z wyglądu. Musi być dany lub wynikać z własności figury. Nie popełnij też błędu √(36 + 64) = 6 + 8: lewa strona to 10, nie 14.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Dodaj kwadraty, potem spierwiastkuj.
Rozwiązanie i kontrola
c = √(81 + 144) = √225 = 15 cm.
Zadanie 2
Wskazówka
Od 17² odejmij 8².
Rozwiązanie i kontrola
b = √(289 − 64) = √225 = 15 cm.
Zadanie 3
Wskazówka
Przekątna jest przeciwprostokątną.
Rozwiązanie i kontrola
d = √(64 + 225) = √289 = 17 cm.
Zadanie 4
Wskazówka
d² = 3² + 3².
Rozwiązanie i kontrola
d = √18 = 3√2 cm.
Zadanie 5
Wskazówka
Najdłuższy bok to 9 cm.
Rozwiązanie i kontrola
Nie: 6² + 7² = 85, a 9² = 81. Trójkąt istnieje, ale nie jest prostokątny.
Zadanie 6
Wskazówka
Ściana i podłoże tworzą kąt prosty; drabina jest przeciwprostokątną.
Rozwiązanie i kontrola
h = √(25 − 9) = 4 m. Dotyczy modelu ze ścianą i podłożem prostopadłymi.
Co warto zachować w pamięci?
Najpierw ustal kąt prosty i najdłuższy bok. Szukając przeciwprostokątnej, dodajesz kwadraty; szukając przyprostokątnej — odejmujesz.
