Obliczanie pól figur (2 strategie + szukanie brakujących długości) — Egzamin 8-klasisty
Hook / Misja
Masz na egzaminie figurę „dziwną” (z wycięciem, w kształcie litery L albo z brakującym bokiem) i pytanie: „Oblicz pole”. Twoja misja jest prosta: sprowadzić figurę do czegoś, co umiesz policzyć — a brakujące długości szybko „wydobyć” z obwodu, własności figur albo Pitagorasa.
Cel lekcji
- Umiesz wybrać jedną z dwóch strategii liczenia pola: podział albo duża figura minus wycięcie.
- Umiesz znaleźć brakujące długości, gdy nie są podane wprost.
- Zapisujesz rozwiązanie czytelnie i pilnujesz jednostek (\(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\)).
Dwie strategie liczenia pól
Strategia 1: Podział na znane figury (i sumowanie pól)
Pomysł: tniesz figurę na prostokąty, trójkąty, trapezy itd. Potem liczysz pola części i je sumujesz.
- Narysuj linie podziału tak, aby powstały proste figury.
- Oznacz potrzebne długości (czasem część trzeba dopiero obliczyć).
- Oblicz pola części i zsumuj.
\[ A_{\text{całkowite}}=\sum A_{\text{części}} \]
Strategia 2: Uzupełnienie (duża figura minus wycięcie)
Pomysł: otaczasz figurę prostszą figurą (zwykle prostokątem), liczysz pole „dużej” figury i odejmujesz wycięcie.
- Wybierz prostą figurę, która zawiera całą figurę (np. prostokąt).
- Policz pole tej dużej figury.
- Policz pole wycięć i odejmij.
\[ A_{\text{figury}}=A_{\text{dużej}}-\sum A_{\text{wyciętych}} \]
Jak szukać brakujących długości (kroki)
- Wypisz dane i oznacz niewiadome (np. \(x\)).
- Użyj własności figur (np. przeciwległe boki prostokąta/równoległoboku są równe).
- Zastosuj sumy długości (obwód, suma odcinków na jednej krawędzi) i ułóż równanie.
- Jeśli jest trójkąt prostokątny, użyj Pitagorasa: \(a^2+b^2=c^2\).
- Dopiero potem licz pole i pilnuj jednostek.
Dwa przykłady z rozwiązaniem
Przykład 1 — ogród (duża figura minus wycięcie)
Treść: Ogród ma kształt prostokąta \(12\,\text{m}\times 8\,\text{m}\). Na jednym końcu jest rabatka — trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(3\,\text{m}\) i \(4\,\text{m}\). Oblicz pole zieleni.
- \(A_{\text{ogród}}=12\cdot 8=96\,\text{m}^2\).
- \(A_{\text{rabatka}}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6\,\text{m}^2\).
- \(A_{\text{zieleni}}=96-6=90\,\text{m}^2\).
Przykład 2 — panele na podłogę (duża figura minus wycięcie)
Treść: Prostokąt \(5\,\text{m}\times 3\,\text{m}\) ma wycięcie \(1\,\text{m}\times 0{,}5\,\text{m}\). Oblicz pole do pokrycia panelami.
- \(A_{\text{dużej}}=5\cdot 3=15\,\text{m}^2\).
- \(A_{\text{wycięcia}}=1\cdot 0{,}5=0{,}5\,\text{m}^2\).
- \(A=15-0{,}5=14{,}5\,\text{m}^2\).
Pułapka
- Jednostki: pole zawsze zapisuj w \(\text{m}^2\) lub \(\text{cm}^2\).
- Trójkąt: łatwo zapomnieć o \(\frac{1}{2}\).
- Kolejność: najpierw brakujące długości, dopiero potem pole.
Sprawdź się
- Prostokąt \(10\,\text{m}\times 7\,\text{m}\) ma w rogu wycięcie — trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(2\,\text{m}\) i \(5\,\text{m}\). Oblicz pole trawnika.
- Prostokąt \(6\,\text{m}\times 4\,\text{m}\) ma wycięcie \(1{,}5\,\text{m}\times 1\,\text{m}\). Oblicz pole.
- W równoległoboku jeden bok ma \(8\,\text{cm}\), a obwód \(30\,\text{cm}\). Oblicz drugi bok.
- Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne \(6\,\text{cm}\) i \(8\,\text{cm}\). Oblicz przeciwprostokątną.
Odpowiedzi
- \(10\cdot 7-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 5=70-5=65\,\text{m}^2\).
- \(6\cdot 4-1{,}5\cdot 1=24-1{,}5=22{,}5\,\text{m}^2\).
- \(2(8+b)=30\Rightarrow b=7\,\text{cm}\).
- \(c=\sqrt{6^2+8^2}=10\,\text{cm}\).
Podsumowanie: wybierz podział albo „duża minus wycięcie”, a brakujące długości wyciągaj z własności figur, obwodu lub Pitagorasa.
