15. Figury złożone – pole przez podział i przez uzupełnienie
Dla figury w kształcie L nie potrzebujesz nowego wzoru. Wystarczy zdecydować, które znane pola dodać albo które pole odjąć.
Po tej lekcji: Obliczysz pole figury złożonej przez podział i uzupełnienie oraz skontrolujesz wynik drugą metodą.Na początek: Znasz pola prostokątów i trójkątów, odejmowanie długości i jednostki pola.
Najpierw rozpoznaj całość i brakującą część
Rozważ prostokąt 10 cm × 8 cm z wyciętym prawym dolnym narożnikiem 4 cm × 3 cm. Pozostała figura ma kształt L. Poniższy rysunek zachowuje proporcje, ale dane do obliczeń odczytuj z opisów, nie z pomiaru ekranu.
{"version":1,"elements":[{"type":"polygon","attrs":{"points":"130,50 430,50 430,200 310,200 310,290 130,290","fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"rect","attrs":{"x":310,"y":200,"width":120,"height":90,"fill":"none","stroke":"#8A919B","stroke-width":2,"stroke-dasharray":"6 5"}},{"type":"line","attrs":{"x1":130,"y1":200,"x2":310,"y2":200,"stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"5 5"}},{"type":"text","attrs":{"x":280,"y":32,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"10 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":80,"y":180,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"8 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":370,"y":186,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"4 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":343,"y":255,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"3 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":222,"y":322,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"6 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":470,"y":130,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"5 cm"}}]}
Podział: sumujemy pola części o nienakładających się wnętrzach, które wypełniają całą figurę. Uzupełnienie: od pola większej figury odejmujemy dokładnie tę część, która nie należy do szukanej figury.
Metoda 1: uzupełnienie do prostokąta
- Duży prostokąt ma pole 10 · 8 = 80 cm².
- Brakujący narożnik ma pole 4 · 3 = 12 cm².
- Odejmujemy: P = 80 − 12 = 68 cm².
- Wynik jest mniejszy od 80 cm², co zgadza się z usunięciem części figury.
Metoda 2: poziomy podział
- Przedłuż poziomą krawędź wycięcia w lewo.
- Górny prostokąt ma szerokość 10 cm i wysokość 8 − 3 = 5 cm. Pole: 50 cm².
- Dolny lewy ma szerokość 10 − 4 = 6 cm i wysokość 3 cm. Pole: 18 cm².
- Dodaj: 50 + 18 = 68 cm². Wynik zgadza się z pierwszą metodą.
Przy pionowym podziale też otrzymasz 68 cm²: 6 · 8 + 4 · 5 = 48 + 20. Wybierz układ z najmniejszą liczbą niewiadomych.
Nie każda część jest prostokątem
Prostokąt z trójkątnym dachem
Sylwetka domku składa się z prostokąta szerokości 6 cm i wysokości 4 cm oraz trójkąta o podstawie 6 cm i wysokości 3 cm. Części mają wspólny tylko brzeg. Pole wynosi 6 · 4 + 6 · 3 : 2 = 24 + 9 = 33 cm². Wysokość dachu liczymy od górnej krawędzi prostokąta, nie od dołu domku.
Nie licz tej samej powierzchni dwa razy. W figurze L dodanie całego lewego pasa i całego górnego pasa policzyłoby ich wspólny prostokąt dwukrotnie. Najbezpieczniej narysuj podział bez nakładających się wnętrz.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Całość minus wycięcie.
Rozwiązanie i kontrola
12 · 9 − 5 · 4 = 108 − 20 = 88 cm².
Zadanie 2
Wskazówka
Górny pas ma wysokość 9 − 4, dolny szerokość 12 − 5.
Rozwiązanie i kontrola
12 · 5 + 7 · 4 = 60 + 28 = 88 cm².
Zadanie 3
Wskazówka
Odejmij pola obu wycięć.
Rozwiązanie i kontrola
8² − 2 · (2 · 3) = 64 − 12 = 52 cm².
Zadanie 4
Wskazówka
Dodaj pole prostokąta i trójkąta.
Rozwiązanie i kontrola
8 · 5 + 8 · 2 : 2 = 40 + 8 = 48 cm².
Zadanie 5
Wskazówka
Znajdź wspólny prostokąt obu pasów.
Rozwiązanie i kontrola
Część 6 × 5 o polu 30 cm² została policzona dwa razy. Po odjęciu nadmiaru: 98 − 30 = 68 cm².
Co warto zachować w pamięci?
Podział i uzupełnienie powinny dać ten sam wynik. Rysuj linie pomocnicze, obliczaj brakujące wymiary i wyklucz podwójne liczenie części.
