Pole figur: równoległobok, romb, trapez — jak liczyć pewnie na egzaminie 8-klasisty
Hook / Misja
Twoja misja: w zadaniu o polu w 30 sekund rozpoznajesz figurę, wybierasz dobry wzór i nie dajesz się nabrać na „fałszywą wysokość”.
Cel lekcji
- Znasz wzory na pola: równoległobok, romb (2 sposoby), trapez.
- Rozumiesz, co jest podstawą, a co wysokością.
- Potrafisz wybrać wzór na podstawie danych z treści lub rysunku.
- Unikasz typowych pułapek egzaminacyjnych.
Najważniejsze pojęcia
- Podstawa — bok, do którego „odnosisz” wysokość (w trapezie podstawami są tylko boki równoległe).
- Wysokość \(h\) — zawsze odcinek prostopadły do podstawy; to odległość między prostymi zawierającymi podstawy.
Wzory na pola
1) Równoległobok
Wzór:
\[ P = a h \]
Gdzie \(a\) to długość wybranej podstawy, a \(h\) to wysokość prostopadła do tej podstawy.
2) Romb (dwa sposoby)
Sposób A (bok i wysokość):
\[ P = a h \]
Sposób B (przekątne):
\[ P = \frac{1}{2} e f \]
Gdzie \(e\) i \(f\) to przekątne rombu. Ten wzór jest wygodny, gdy w zadaniu podano przekątne zamiast wysokości.
3) Trapez
Wzór:
\[ P = \frac{(a + b)h}{2} \]
Gdzie \(a\) i \(b\) to długości dwóch podstaw (boków równoległych), a \(h\) to wysokość.
Jak wybrać wzór? (kroki)
- Rozpoznaj figurę: równoległobok / romb / trapez.
- Podkreśl dane w treści: czy masz podstawę i wysokość, czy przekątne, czy dwie podstawy trapezu?
- Zaznacz wysokość na rysunku i sprawdź, czy jest prostopadła do podstawy.
- Dobierz wzór zgodnie z danymi.
- Policz krok po kroku (nawiasy → mnożenie → dzielenie przez \(2\)).
2 przykłady (krok po kroku)
Przykład 1 — równoległobok
Dane: \(a = 5\), \(h = 3\).
\[ P = a h = 5 \cdot 3 = 15. \]
Przykład 2 — romb z przekątnych
Dane: \(e = 6\), \(f = 8\).
\[ P = \frac{1}{2} e f = \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 = 24. \]
Pułapka (bardzo częsta)
- Wysokość to nie „skośny bok”. Jeśli odcinek nie jest prostopadły do podstawy, to nie jest \(h\) do tego wzoru.
- W trapezie podstawami są tylko boki równoległe. Boki skośne nie wchodzą do \(a+b\).
- Przekątne rombu to nie boki. Przekątne łączą wierzchołki naprzeciw siebie.
Sprawdź się
- Równoległobok ma \(a=9\) i \(h=4\). Oblicz pole.
- Romb ma bok \(a=7\) i wysokość \(h=5\). Oblicz pole.
- Romb ma przekątne \(e=10\) i \(f=12\). Oblicz pole.
- Trapez ma podstawy \(a=4\), \(b=6\) i wysokość \(h=3\). Oblicz pole.
- W trapezie podano boki: \(4\), \(6\), \(5\), \(5\) oraz wysokość \(3\). Które liczby wpiszesz jako \(a\) i \(b\) we wzorze na pole?
Odpowiedzi
- \(P = a h = 9 \cdot 4 = 36\).
- \(P = a h = 7 \cdot 5 = 35\).
- \(P = \frac{1}{2}ef = \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 12 = 60\).
- \(P = \frac{(a+b)h}{2} = \frac{(4+6)\cdot 3}{2} = 15\).
- \(a=4\) i \(b=6\) (to podstawy, boki równoległe).
Krótka zasada: najpierw zaznacz podstawy i wysokość (prostopadle), potem wybierz wzór i podstaw liczby.
