14. Pole równoległoboku, rombu i trapezu + dobór wzoru
Na rysunku podano kilka długości. Dobry wybór wzoru zależy od tego, co oznaczają: bok, wysokość czy przekątna.
Po tej lekcji: Dobierzesz wzór na pole równoległoboku, rombu i trapezu oraz obliczysz brakujący wymiar.Na początek: Znasz własności czworokątów i pole trójkąta; potrafisz rozwiązać proste równanie.
Równoległobok: wysokość, nie ukośny bok
Po odcięciu trójkąta z jednej strony równoległoboku i przeniesieniu go na drugą stronę otrzymujemy prostokąt. Podstawa a i prostopadła wysokość h nie zmieniają się. Dlatego P = ah.
{"version":1,"elements":[{"type":"polygon","attrs":{"points":"90,245 370,245 475,105 195,105","fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":195,"y1":105,"x2":195,"y2":245,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"6 4"}},{"type":"path","attrs":{"d":"M195 230h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":265,"y":280,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"8 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":235,"y":185,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"4 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":115,"y":165,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"5 cm"}}]}
Wybór właściwej pary
Równoległobok ma podstawę 8 cm, ukośny bok 5 cm i wysokość do tej podstawy 4 cm. Pole to 8 · 4 = 32 cm². Iloczyn 8 · 5 nie jest właściwy, ponieważ bok 5 cm nie jest prostopadły do podstawy.
Romb: dwie możliwe drogi
Romb jest równoległobokiem, więc również ma pole P = ah. Jeśli znamy przekątne e i f, wygodniejszy jest wzór P = ef : 2. Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Tworzą cztery trójkąty prostokątne o przyprostokątnych e/2 i f/2. Suma ich pól to właśnie ef/2.
{"version":1,"elements":[{"type":"polygon","attrs":{"points":"100,160 300,40 500,160 300,280","fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":100,"y1":160,"x2":500,"y2":160,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":300,"y1":40,"x2":300,"y2":280,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"path","attrs":{"d":"M300 145h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":100,"y1":310,"x2":500,"y2":310,"stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":100,"y1":304,"x2":100,"y2":316,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":500,"y1":304,"x2":500,"y2":316,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":341,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"10 cm"}},{"type":"line","attrs":{"x1":540,"y1":40,"x2":540,"y2":280,"stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":534,"y1":40,"x2":546,"y2":40,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":534,"y1":280,"x2":546,"y2":280,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":568,"y":167,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"6 cm"}}]}
Przekątne zamiast wysokości
Romb ma przekątne 10 cm i 6 cm. Nie musimy znać boku: P = 10 · 6 : 2 = 30 cm². Do wzoru podstawiamy całe przekątne, nie ich połówki.
Trapez: dwie podstawy i odstęp między nimi
Podstawy a i b to boki równoległe. Wysokość h to prostopadła odległość między prostymi zawierającymi podstawy. Dwa jednakowe trapezy można zestawić w równoległobok o podstawie a + b i wysokości h. Jeden ma połowę jego pola:
P = (a + b) · h : 2.
{"version":1,"elements":[{"type":"polygon","attrs":{"points":"85,235 475,235 385,115 175,115","fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":175,"y1":115,"x2":175,"y2":235,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"6 4"}},{"type":"path","attrs":{"d":"M175 220h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":280,"y":270,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"13 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":280,"y":93,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"7 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":213,"y":188,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"4 cm"}}]}
Pole i zadanie odwrotne
- Podstawy 7 cm i 13 cm, wysokość 4 cm: P = (7 + 13) · 4 : 2 = 40 cm².
- Gdy znamy P = 40 cm² i te same podstawy, zapisujemy 20h : 2 = 40, czyli 10h = 40. Stąd h = 4 cm.
- Kontrola: średnia długość podstaw to 10 cm; prostokąt 10 cm × 4 cm ma właśnie 40 cm².
Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Nie potrzebujesz długości ramienia.
Rozwiązanie i kontrola
P = 9 · 5 = 45 cm².
Zadanie 2
Wskazówka
Iloczyn całych przekątnych podziel przez 2.
Rozwiązanie i kontrola
P = 12 · 8 : 2 = 48 cm².
Zadanie 3
Wskazówka
Najpierw dodaj podstawy.
Rozwiązanie i kontrola
P = (4 + 8) · 3 : 2 = 18 m².
Zadanie 4
Wskazówka
Z równania 9h = 54.
Rozwiązanie i kontrola
h = 54 : 9 = 6 cm.
Zadanie 5
Wskazówka
10f : 2 = 60.
Rozwiązanie i kontrola
5f = 60, więc f = 12 cm.
Zadanie 6
Wskazówka
(5 + 9)h : 2 = 35.
Rozwiązanie i kontrola
7h = 35, więc h = 5 cm.
Co warto zachować w pamięci?
Dobieraj wzór do danych: podstawa i wysokość, dwie przekątne albo dwie podstawy i wysokość. Zachowuj jednostki i warunki prostopadłości.
