17. Układ współrzędnych – punkty, odcinki, długość i środek
Para (−2, 1) jest adresem punktu: najpierw ruch poziomy, potem pionowy. Z dwóch takich adresów można odzyskać długość odcinka i położenie jego środka.
Po tej lekcji: Zaznaczysz punkty, określisz ich położenie oraz obliczysz długość i środek odcinka.Na początek: Znasz liczby ujemne, średnią dwóch liczb i twierdzenie Pitagorasa.
Najpierw x, potem y
Układ współrzędnych tworzą prostopadłe osie: pozioma x i pionowa y. Ich przecięcie to O = (0, 0). Zapis A = (x, y) podaje najpierw współrzędną poziomą, potem pionową.
Dla A = (−2, 1) od zera idziemy 2 jednostki w lewo i 1 w górę. Znaki określają ćwiartkę: I to (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −). Punkt na osi nie należy do żadnej ćwiartki.
{"version":1,"elements":[{"type":"line","attrs":{"x1":100,"y1":40,"x2":100,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":140,"y1":40,"x2":140,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":180,"y1":40,"x2":180,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":220,"y1":40,"x2":220,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":260,"y1":40,"x2":260,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":300,"y1":40,"x2":300,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":340,"y1":40,"x2":340,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":380,"y1":40,"x2":380,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":420,"y1":40,"x2":420,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":460,"y1":40,"x2":460,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":500,"y1":40,"x2":500,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":540,"y1":40,"x2":540,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":350,"x2":550,"y2":350,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":310,"x2":550,"y2":310,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":270,"x2":550,"y2":270,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":230,"x2":550,"y2":230,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":190,"x2":550,"y2":190,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":150,"x2":550,"y2":150,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":110,"x2":550,"y2":110,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":70,"x2":550,"y2":70,"stroke":"#d7dee8","stroke-width":1}},{"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":270,"x2":565,"y2":270,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"565,270 555,265 555,275","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":300,"y1":350,"x2":300,"y2":25,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"300,25 295,35 305,35","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":579,"y":278,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"x"}},{"type":"text","attrs":{"x":320,"y":25,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"y"}},{"type":"text","attrs":{"x":100,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"-5"}},{"type":"text","attrs":{"x":140,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"-4"}},{"type":"text","attrs":{"x":180,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"-3"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"-2"}},{"type":"text","attrs":{"x":260,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"-1"}},{"type":"text","attrs":{"x":340,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"1"}},{"type":"text","attrs":{"x":380,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"2"}},{"type":"text","attrs":{"x":420,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"3"}},{"type":"text","attrs":{"x":460,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"4"}},{"type":"text","attrs":{"x":500,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"5"}},{"type":"text","attrs":{"x":540,"y":292,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"6"}},{"type":"text","attrs":{"x":283,"y":355,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"-2"}},{"type":"text","attrs":{"x":283,"y":315,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"-1"}},{"type":"text","attrs":{"x":283,"y":235,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"1"}},{"type":"text","attrs":{"x":283,"y":195,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"2"}},{"type":"text","attrs":{"x":283,"y":155,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"3"}},{"type":"text","attrs":{"x":283,"y":115,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"4"}},{"type":"text","attrs":{"x":283,"y":75,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"5"}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"220,230 380,230 380,110","fill":"none","stroke":"#8A919B","stroke-width":3,"stroke-dasharray":"5 4"}},{"type":"line","attrs":{"x1":220,"y1":230,"x2":380,"y2":110,"stroke":"#1769D3","stroke-width":4}},{"type":"path","attrs":{"d":"M365 215h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"circle","attrs":{"cx":220,"cy":230,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":165,"y":230,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"A(−2, 1)"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":380,"cy":110,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":418,"y":96,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"B(2, 4)"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":300,"cy":170,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":328,"y":195,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"S"}},{"type":"text","attrs":{"x":318,"y":290,"font-size":15,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"0"}}]}
Długość: różnice, nie sumy
Jeśli końce mają to samo y, odcinek jest poziomy. Jego długość jest wartością bezwzględną różnicy współrzędnych x. Przy tym samym x postępuj analogicznie ze współrzędnymi y. Wartość bezwzględna usuwa znak minus: długość nie może być ujemna.
Odcinek pionowy
C = (2, −1), D = (2, 6). Współrzędne x są równe, więc długość wynosi |6 − (−1)| = 7 jednostek. Możesz też policzyć: 1 jednostka do osi x i 6 od osi do D.
Gdy zmieniają się obie współrzędne
Odcinek A = (−2, 1), B = (2, 4)
- Przesunięcie poziome wynosi 2 − (−2) = 4.
- Przesunięcie pionowe wynosi 4 − 1 = 3.
- Te przesunięcia są przyprostokątnymi pomocniczego trójkąta.
- |AB| = √(4² + 3²) = √25 = 5 jednostek.
Suma 4 + 3 = 7 opisuje drogę po dwóch prostopadłych odcinkach, nie bezpośrednią długość AB.
Środek jest w połowie obu przesunięć
Współrzędne środka S to średnie współrzędnych końców:
xS = (xA + xB) : 2,
yS = (yA + yB) : 2.
W przykładzie xS = (−2 + 2) : 2 = 0 i yS = (1 + 4) : 2 = 2,5. Zatem S = (0; 2,5), czyli x = 0 oraz y = 2,5. Średnik oddziela tutaj współrzędne, żeby nie pomylić go z przecinkiem dziesiętnym. Środek nie musi być punktem kratowym.
Do długości odejmuj, do środka dodawaj i dziel przez dwa. W standardowym układzie geometrycznym stosujemy tę samą długość jednostki na obu osiach — inaczej obraz mógłby zniekształcać kąty i odległości.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Sprawdź znaki; zero oznacza oś.
Rozwiązanie i kontrola
Pierwszy w II ćwiartce. Drugi na ujemnej półosi y, nie w ćwiartce.
Zadanie 2
Wskazówka
Wspólne y oznacza odcinek poziomy.
Rozwiązanie i kontrola
|3 − (−5)| = 8 jednostek.
Zadanie 3
Wskazówka
Oblicz średnie oddzielnie dla x i y.
Rozwiązanie i kontrola
x = (−5 + 3) : 2 = −1, y = (2 + 2) : 2 = 2. Środek: (−1, 2).
Zadanie 4
Wskazówka
Przesunięcia mają długości 3 i 4.
Rozwiązanie i kontrola
√(3² + 4²) = 5 jednostek.
Zadanie 5
Wskazówka
Nie mieszaj współrzędnej x jednego punktu z y drugiego.
Rozwiązanie i kontrola
x = (−2 + 4) : 2 = 1, y = (−1 + 5) : 2 = 2. Środek to (1, 2).
Zadanie 6
Wskazówka
Użyj jednakowej jednostki na obu osiach.
Rozwiązanie i kontrola
Środek ma x = 0 i y = 2,5. Leży na osi y, w połowie odcinka łączącego punkty; nie na przecięciu dwóch całkowitoliczbowych linii siatki.
Co warto zachować w pamięci?
Współrzędne czytaj w kolejności x, y. Długość bierze się z różnic, a środek ze średnich odpowiednich współrzędnych.
