Punkty, proste i odcinki — Twoja szybka baza pod Egzamin 8-klasisty

Hook / Misja

Masz współrzędne punktów i fragmenty rysunku. Twoim celem jest policzyć wszystko sprawnie i bez pomyłek: narysować punkt \( (x,y) \), znaleźć środek odcinka, policzyć długość oraz sprawdzić współliniowość.

Cel lekcji

• Umiesz narysować punkt \( (x,y) \) na układzie współrzędnych.
• Umiesz zaznaczać nierówności na osi liczbowej (np. \( x \ge 1{,}5 \)).
• Liczysz środek odcinka i potrafisz znaleźć „drugi koniec”, gdy znasz środek i jeden koniec.
• Liczysz długość odcinka: poziomego, pionowego i skośnego.
• Sprawdzasz współliniowość punktów bezpiecznym warunkiem.

1) Jak rysować punkt \( (x,y) \) — krok po kroku

1. Startujesz w \( (0,0) \).
2. Idziesz w poziomie: \( x>0 \) w prawo, \( x<0 \) w lewo.
3. Idziesz w pionie: \( y>0 \) w górę, \( y<0 \) w dół.
4. Zaznaczasz punkt i podpisujesz literą.

Przykład: \( A(2,3) \) — 2 kratki w prawo i 3 w górę.

2) Oś liczbowa: \( x \ge 1{,}5 \) i \( x > 1{,}5 \)

• Dla \( x \ge 1{,}5 \): pełna kropka w \(1{,}5\) i półprosta w prawo.
• Dla \( x > 1{,}5 \): pusta kropka w \(1{,}5\) i półprosta w prawo.

3) Środek odcinka

Dla \( A=(x_1,y_1) \) i \( B=(x_2,y_2) \):

\[ M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right). \]

Gdy znasz środek i jeden koniec

Jeśli znasz \( M=(x_m,y_m) \) oraz \( A=(x_1,y_1) \), to drugi koniec:

\[ B=(2x_m-x_1,\ 2y_m-y_1). \]

Przykład: \( A=(1,2) \), \( M=(3,4) \) → \( B=(5,6) \).

4) Długość odcinka

Poziomy

Między \( (x_1,y) \) i \( (x_2,y) \): \( |x_2-x_1| \).

Pionowy

Między \( (x,y_1) \) i \( (x,y_2) \): \( |y_2-y_1| \).

Skośny

\[ d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. \]

5) Jak sprawdzić współliniowość (czy punkt leży na prostej)

Najbezpieczniej użyć warunku bez dzielenia:

\[ (x_2-x_1)(y-y_1)-(y_2-y_1)(x-x_1)=0. \]

Jeśli wyjdzie \(0\), punkty są współliniowe.

Współczynnik kierunkowy (gdy \(x_1\neq x_2\))

\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]

Pułapka

• W \( (x,y) \) najpierw jest \(x\), potem \(y\).
• Środek to średnia (dzielenie przez 2), nie różnica.
• Współliniowość: lepiej użyć warunku bez dzielenia, bo pionowa prosta psuje ułamki.
• Na osi: \(\ge\) to kropka pełna, \(>\) to kropka pusta.

Sprawdź się

1. Narysuj punkt \( A(-3,2) \). W którą stronę i ile kratek idziesz?
2. Zaznacz na osi liczbowej \( x > -1 \).
3. Oblicz środek odcinka o końcach \( A(2,-1) \) i \( B(6,3) \).
4. Odcinek ma środek \( M(4,0) \) i koniec \( A(1,-2) \). Oblicz \( B \).
5. Policz długość odcinka między \( P(1,4) \) i \( Q(5,4) \).
6. Sprawdź, czy \( P(3,5) \) leży na prostej przez \( A(1,1) \) i \( B(2,3) \).