18. Bryły + koło/okrąg + symetrie konstrukcyjne – zestaw egzaminacyjny
Ile wstążki potrzeba na brzeg, ile papieru na oklejenie, a ile wody zmieści pojemnik? W zadaniu mieszanym pierwszą decyzją jest wybór rodzaju wielkości.
Po tej lekcji: Dobierzesz obliczenia długości, pola i objętości oraz zastosujesz i skonstruujesz symetralną odcinka i dwusieczną kąta.Na początek: Znasz pola figur, twierdzenie Pitagorasa, prostopadłość i konstrukcje cyrklem. Przerabiaj kolejne części osobno; każda ma własne przykłady i ćwiczenia.
Koło jest powierzchnią, okrąg — brzegiem
Okrąg to zbiór punktów w odległości r od środka O, gdzie r > 0 jest promieniem. Koło to okrąg wraz z wnętrzem. Średnica d przechodzi przez środek i ma długość 2r. Liczba π jest stałą równą stosunkowi długości okręgu do średnicy; w przybliżeniu π ≈ 3,14.
Długość okręgu L = 2πr = πd. Pole koła P = πr². Zauważ różne jednostki: długość w cm, pole w cm². Jeżeli zadanie nie nakazuje przybliżenia, zostaw wynik z π.
{"version":1,"elements":[{"type":"circle","attrs":{"cx":300,"cy":160,"r":115,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":185,"y1":160,"x2":415,"y2":160,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"6 4"}},{"type":"line","attrs":{"x1":300,"y1":160,"x2":300,"y2":45,"stroke":"#1769D3","stroke-width":4}},{"type":"circle","attrs":{"cx":300,"cy":160,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":319,"y":185,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"O"}},{"type":"text","attrs":{"x":345,"y":100,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"r = 5 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":238,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"d = 10 cm"}}]}
Okrągły blat o średnicy 10 cm
- Najpierw promień: r = 10 : 2 = 5 cm.
- Taśma wzdłuż brzegu: L = 2π · 5 = 10π cm.
- Papier na górną powierzchnię: P = π · 5² = 25π cm².
- Przy π ≈ 3,14 wyniki to około 31,4 cm i 78,5 cm².
Bryły: oklejenie i napełnienie
Graniastosłup ma dwie przystające, równoległe podstawy będące wielokątami. Jego objętość V = PpH, gdzie Pp to pole jednej podstawy, a H — prostopadła odległość między podstawami. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami, więc ich łączne pole Pb to obwód podstawy razy H. Pole całkowite Pc = 2Pp + Pb.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":113,"y":110,"width":66,"height":110,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"rect","attrs":{"x":179,"y":110,"width":88,"height":110,"fill":"#FFF3BE","stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"rect","attrs":{"x":267,"y":110,"width":66,"height":110,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"rect","attrs":{"x":333,"y":110,"width":88,"height":110,"fill":"#FFF3BE","stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"rect","attrs":{"x":179,"y":44,"width":88,"height":66,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"rect","attrs":{"x":179,"y":220,"width":88,"height":66,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":223,"y":83,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"3 × 4"}},{"type":"text","attrs":{"x":146,"y":172,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"3 × 5"}},{"type":"text","attrs":{"x":223,"y":172,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"4 × 5"}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":172,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"3 × 5"}},{"type":"text","attrs":{"x":377,"y":172,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"4 × 5"}},{"type":"text","attrs":{"x":223,"y":261,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"3 × 4"}},{"type":"text","attrs":{"x":480,"y":190,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"w cm"}}]}
Prostopadłościan 3 cm × 4 cm × 5 cm
- Wybieramy podstawę 3 × 4: Pp = 12 cm².
- Objętość: V = 12 · 5 = 60 cm³.
- Pole ścian: Pc = 2 · (3 · 4 + 3 · 5 + 4 · 5) = 2 · 47 = 94 cm².
- Gdy pudełko jest bez pokrywki, od 94 odejmujemy 12 cm². Wówczas pole materiału wynosi 82 cm², bez uwzględnienia zakładek.
Ostrosłup ma jedną wielokątną podstawę i trójkątne ściany boczne spotykające się we wspólnym wierzchołku. Jego objętość wynosi V = PpH : 3. Pole całkowite to pole podstawy plus pola wszystkich trójkątnych ścian. Wysokość bryły H nie jest tym samym co wysokość ściany bocznej.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Podstawa jest kwadratem o boku 6 cm, a wierzchołek leży nad jej środkiem, 4 cm od płaszczyzny podstawy. Pole podstawy to 36 cm², więc V = 36 · 4 : 3 = 48 cm³. Wysokość ściany bocznej biegnie do środka boku podstawy: z Pitagorasa ma √(4² + 3²) = 5 cm. Jedna ściana ma pole 6 · 5 : 2 = 15 cm². Cztery dają 60 cm², a Pc = 36 + 60 = 96 cm².
{"version":1,"elements":[{"type":"polygon","attrs":{"points":"200,55 200,255 350,255","fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"path","attrs":{"d":"M200 240h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":145,"y":160,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"H = 4 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":275,"y":291,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"3 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":343,"y":155,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"5 cm"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":200,"cy":55,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":37,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"S"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":200,"cy":255,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":177,"y":275,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"O"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":350,"cy":255,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":372,"y":275,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"M"}}]}
Walec — osobne uzupełnienie zakresu backupu
Walec ma dwie kołowe podstawy. Zachowujemy tę część jako uzupełnienie, bez deklarowania aktualnego zakresu egzaminu. V = πr²H. Rozwinięcie powierzchni bocznej walca prostego jest prostokątem o bokach 2πr i H, więc Pc = 2πr² + 2πrH.
Promień 2 cm, wysokość 5 cm
Pole podstawy wynosi 4π cm². Objętość V = 4π · 5 = 20π cm³. Pole boczne to 4π · 5 = 20π cm², a całkowite 8π + 20π = 28π cm². Podobny zapis liczbowy nie oznacza równości objętości i pola.
Przy pojemnościach przydaje się 1 dm³ = 1 l i 1 cm³ = 1 ml. Ponieważ 1 dm = 10 cm, to 1 dm³ = 1000 cm³. Na przykład 2500 cm³ = 2,5 l.
Symetralna: równa odległość od dwóch punktów
Symetralna odcinka AB jest prostą prostopadłą do AB, przechodzącą przez jego środek. Jej punkty są jednakowo odległe od A i B. Odwrotnie, każdy punkt o równych odległościach od A i B leży na symetralnej.
{"version":1,"elements":[{"type":"path","attrs":{"d":"M234.723222932107 335.3508193257453 A160 160 0 0 0 234.723222932107 34.649180674254666","fill":"none","stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"5 4"}},{"type":"path","attrs":{"d":"M365.276777067893 34.64918067425464 A160 160 0 0 0 365.2767770678929 335.3508193257453","fill":"none","stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"5 4"}},{"type":"line","attrs":{"x1":180,"y1":185,"x2":420,"y2":185,"stroke":"#1769D3","stroke-width":4}},{"type":"line","attrs":{"x1":300,"y1":35,"x2":300,"y2":335,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"path","attrs":{"d":"M300 170h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"circle","attrs":{"cx":180,"cy":185,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":160,"y":193,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"A"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":420,"cy":185,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":440,"y":193,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"B"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":300,"cy":79.16994755741638,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":258,"y":71.16994755741638,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"U"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":300,"cy":290.8300524425836,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":258,"y":308.8300524425836,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"W"}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":360,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"3 cm + 3 cm = 6 cm"}}]}
Konstrukcja dla odcinka 6 cm
- Z A i B zakreśl łuki o tym samym promieniu 4 cm. Promień musi być większy niż połowa odcinka, czyli 3 cm.
- Zaznacz dwa przecięcia łuków: U nad odcinkiem i W pod nim.
- Poprowadź prostą UW. To symetralna: U i W są jednakowo odległe od A i B.
- Kontrola: UW ⟂ AB, a punkt przecięcia dzieli AB na części po 3 cm.
Jeżeli punkt P na symetralnej ma |PA| = 5 cm, to bez dalszych obliczeń |PB| = 5 cm.
Dwusieczna: równy podział kąta
Dwusieczna kąta wypukłego jest półprostą wychodzącą z jego wierzchołka i dzielącą go na dwa równe kąty. Jej punkty są jednakowo odległe od obu ramion, przy czym odległości mierzymy prostopadle.
{"version":1,"elements":[{"type":"line","attrs":{"x1":130,"y1":290,"x2":525,"y2":290,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"525,290 515,285 515,295","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":130,"y1":290,"x2":277.5,"y2":34.52250588359061,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"277.5,34.52250588359061 268.1698729810778,40.68275992143499 276.8301270189222,45.68275992143499","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"path","attrs":{"d":"M310 290 A180 180 0 0 0 220 134.11542731880104","fill":"none","stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"5 4"}},{"type":"path","attrs":{"d":"M465.88457268119896 200 A180 180 0 0 0 325.68803369457845 110.6849543434858","fill":"none","stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"5 4"}},{"type":"path","attrs":{"d":"M383.135401666597 210.18671443212693 A180 180 0 0 0 383.135401666597 58.044140205475145","fill":"none","stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"5 4"}},{"type":"line","attrs":{"x1":130,"y1":290,"x2":446.09927238132013,"y2":107.50000000000003,"stroke":"#1769D3","stroke-width":4}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"446.09927238132013,107.50000000000003 434.93901834347577,108.16987298107783 439.93901834347577,116.83012701892223","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"circle","attrs":{"cx":130,"cy":290,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":108,"y":312,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"O"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":310,"cy":290,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":315,"y":318,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"A"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":220,"cy":134.11542731880104,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":198,"y":120.11542731880104,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"B"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":400,"cy":134.11542731880107,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":420,"y":122.11542731880107,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"D"}},{"type":"path","attrs":{"d":"M210 290 A80 80 0 0 0 199.2820323027551 250","fill":"none","stroke":"#1769D3","stroke-width":2.5}},{"type":"path","attrs":{"d":"M216.60254037844388 240 A100 100 0 0 0 180 203.39745962155615","fill":"none","stroke":"#1769D3","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":233,"y":275,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"30°"}},{"type":"text","attrs":{"x":202,"y":205,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"30°"}}]}
Konstrukcja dwusiecznej kąta 60°
- Ze środka O w wierzchołku zakreśl łuk przecinający ramiona w A i B. Wtedy |OA| = |OB|.
- Z A i B zakreśl łuki o równych promieniach, tak aby przecięły się wewnątrz kąta w punkcie D różnym od O.
- Poprowadź półprostą OD. Trójkąty OAD i OBD mają trzy pary równych boków, więc są przystające; kąty przy O są równe.
- Każdy ma 60° : 2 = 30°. Dla kąta 74° analogiczny podział dałby 37° i 37°.
Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
W jednym wzorze r jest do kwadratu.
Rozwiązanie i kontrola
P = 9π cm², L = 6π cm.
Zadanie 2
Wskazówka
Pomnóż pole podstawy przez wysokość.
Rozwiązanie i kontrola
V = 12 · 7 = 84 cm³.
Zadanie 3
Wskazówka
Objętość: iloczyn trzech wymiarów; pole: trzy pary ścian.
Rozwiązanie i kontrola
V = 24 cm³. Pc = 2 · (6 + 8 + 12) = 52 cm².
Zadanie 4
Wskazówka
Wysokość ściany bocznej to √(3² + 4²).
Rozwiązanie i kontrola
V = 64 · 3 : 3 = 64 cm³. Wysokość ściany 5 cm. Pc = 64 + 4 · (8 · 5 : 2) = 144 cm².
Zadanie 5
Wskazówka
Najpierw pole podstawy 9π.
Rozwiązanie i kontrola
V = 36π cm³. Pc = 18π + 24π = 42π cm².
Zadanie 6
Wskazówka
1000 cm³ = 1 l.
Rozwiązanie i kontrola
1800 : 1000 = 1,8 l.
Zadanie 7
Wskazówka
Promień musi przekroczyć połowę odcinka.
Rozwiązanie i kontrola
Nie, 3 cm to za mało. Użyj np. 5 cm z obu końców, wyznacz oba przecięcia i połącz je prostą. Kontrola: kąt 90° i podział na 4 cm oraz 4 cm.
Zadanie 8
Wskazówka
Wykorzystaj równość odległości.
Rozwiązanie i kontrola
|PB| = 7 cm.
Zadanie 9
Wskazówka
Odmierz równe odcinki na ramionach, potem użyj równych łuków z ich końców.
Rozwiązanie i kontrola
Powstają dwa kąty po 40°. Kontrola: półprosta zaczyna się w wierzchołku, biegnie przez przecięcie łuków i dzieli zaznaczony kąt na równe części.
Zadanie 10
Wskazówka
Sprawdź oba warunki definicji.
Rozwiązanie i kontrola
Nie. Przechodzi przez środek, lecz brakuje prostopadłości. Potrzebny jest kąt 90°.
Co warto zachować w pamięci?
Najpierw rozpoznaj wielkość i jej jednostkę. W bryłach oddziel wysokość bryły od wysokości ściany. Konstrukcje opieraj na równych odległościach, nie na rysowaniu „na oko”.
