9. Suma kątów w trójkącie i trójkąt równoramienny
Dwa kąty trójkąta są znane. Trzeci nie jest dowolny: wszystkie trzy muszą razem utworzyć kąt półpełny.
Po tej lekcji: Obliczysz brakujące kąty trójkąta i zastosujesz równość kątów przy podstawie w trójkącie równoramiennym.Na początek: Znasz rodzaje trójkątów i potrafisz odejmować miary kątów od 180°.
Stała suma, różne kształty
W każdym trójkącie na płaszczyźnie suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180°. Jeśli oznaczymy je α, β i γ, to α + β + γ = 180°.
Możesz to zobaczyć, wycinając papierowy trójkąt i układając jego trzy narożniki obok siebie: utworzą kąt półpełny. To doświadczenie pomaga zapamiętać zależność; sam niedokładny pomiar papierowych części nie zastępuje dokładnej reguły.
Dwa znane kąty
W trójkącie podano 42° i 63°.
- Dodaj znane miary: 42° + 63° = 105°.
- Odejmij od całej sumy: 180° − 105° = 75°.
- Sprawdź: 42° + 63° + 75° = 180°. Wszystkie kąty są dodatnie.
Równe ramiona dają równe kąty
Jeżeli AB = AC w sensie długości, podstawą nazywamy BC. Kąty przy B i C leżą naprzeciw równych ramion, dlatego są równe. Kąt przy A jest kątem między ramionami. Nie należy mylić tych dwóch ról.
{"version":1,"elements":[{"type":"polygon","attrs":{"points":"300,50 234.48535783208357,230 365.51464216791646,230","fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":101,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"40°"}},{"type":"text","attrs":{"x":262.48535783208354,"y":215,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"70°"}},{"type":"text","attrs":{"x":337.51464216791646,"y":215,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"70°"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":300,"cy":50,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":32,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"A"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":234.48535783208357,"cy":230,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":218.48535783208357,"y":258,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"B"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":365.51464216791646,"cy":230,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":381.51464216791646,"y":258,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"C"}},{"type":"line","attrs":{"x1":258,"y1":130,"x2":277,"y2":138,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":323,"y1":138,"x2":342,"y2":130,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":290,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"70° + 70° + 40° = 180°"}}]}
Kąt między ramionami ma 40°
- Na dwa równe kąty przy podstawie zostaje 180° − 40° = 140°.
- Dzielimy tę sumę równo: 140° : 2 = 70°.
- Odpowiedź: 70°, 70° i 40°.
Jeśli natomiast podano kąt przy podstawie równy 70°, drugi przy podstawie też ma 70°, a między ramionami pozostaje 180° − 2 · 70° = 40°.
Rozumowanie w drugą stronę
Jeżeli dwa kąty trójkąta są równe, boki naprzeciwko nich też są równe. Na przykład kąty przy B i C po 50° oznaczają |AB| = |AC|. Pozostały kąt ma 80°. W trójkącie równobocznym wszystkie trzy kąty są równe, więc każdy ma 180° : 3 = 60°.
„Jeden kąt ma 40°” nie określa jego roli. W trójkącie równoramiennym może to być kąt między ramionami (pozostałe po 70°) albo przy podstawie (drugi 40°, trzeci 100°). Bez dodatkowej informacji rozpatrz oba przypadki.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Odejmij ich sumę od 180°.
Rozwiązanie i kontrola
180° − 35° − 80° = 65°.
Zadanie 2
Wskazówka
Najpierw odejmij, potem podziel przez 2.
Rozwiązanie i kontrola
(180° − 38°) : 2 = 71°. Oba kąty przy podstawie mają 71°.
Zadanie 3
Wskazówka
Są dwa kąty po 74°.
Rozwiązanie i kontrola
180° − 2 · 74° = 32°.
Zadanie 4
Wskazówka
Wskaż boki naprzeciw równych kątów.
Rozwiązanie i kontrola
|BC| = |AC|. Kąt C ma 180° − 130° = 50°.
Zadanie 5
Wskazówka
Rozważ rolę kąta przy podstawie i między ramionami.
Rozwiązanie i kontrola
50°, 65°, 65° albo 50°, 50°, 80°. W obu zestawach suma wynosi 180° i są dwa równe kąty.
Co warto zachować w pamięci?
W trójkącie suma to 180°. Przed dzieleniem przez dwa ustal, czy dany kąt leży przy podstawie, czy między ramionami.
