Suma kątów w trójkącie i trójkąt równoramienny (Egzamin 8-klasisty)

Hook / Misja

Wyobraź sobie, że na egzaminie widzisz trójkąt i pytanie: „Oblicz brakujący kąt”. To jest zadanie-punktowiec: szybkie, przewidywalne i do zrobienia w minutę. Twoja misja: zawsze doprowadzić do liczby \(180^\circ\) i spokojnie policzyć brak.

Cel lekcji

• Znasz i stosujesz własność: suma kątów w trójkącie to \(180^\circ\).
• Umiesz ułożyć krótkie równanie i policzyć brakujący kąt.
• Rozpoznajesz trójkąt równoramienny i używasz jego własności oraz wzorów.
• Unikasz typowej „pułapki” z dodawaniem i odejmowaniem kątów.

Własność sumy kątów w trójkącie

Własność: Dla kątów wewnętrznych trójkąta oznaczonych zwyczajowo przez \( \alpha, \beta, \gamma \) zachodzi

Krótkie uzasadnienie (wersja egzaminowa)

1. Weź trójkąt \(ABC\) i poprowadź przez wierzchołek \(A\) prostą równoległą do boku \(BC\).
2. Powstają przy \(A\) kąty, które są równe kątom przy \(B\) i \(C\) (to kąty naprzemianległe/odpowiadające przy prostych równoległych).
3. Te trzy kąty „ustawiają się” na prostej, więc dają kąt półpełny, czyli \(180^\circ\). Stąd \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\).

Jak liczyć brakujący kąt — algorytm

1. Zapisz własność: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).
2. Podstaw znane kąty (z rysunku/treści zadania).
3. Zrób nawias przy dodawaniu znanych kątów i odejmij od \(180^\circ\): \[ \text{brakujący} = 180^\circ - (\text{suma znanych}). \]
4. Kontrola: wynik ma być dodatni, a po zsumowaniu wszystkich trzech ma wyjść \(180^\circ\).

Mini-przykłady

1. Dane: w trójkącie dwa kąty to \(50^\circ\) i \(60^\circ\). Oblicz trzeci.

   \[ \gamma = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ. \]

2. Dane: w trójkącie kąty przy podstawie to \(55^\circ\) i \(55^\circ\). Oblicz kąt wierzchołkowy.

   \[ \gamma = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 70^\circ. \]

Trójkąt równoramienny — własność i wzory

Własność: W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Jeśli ramiona schodzą się w wierzchołku \(A\), to kąty przy podstawie spełniają \( \beta = \gamma \).

Uzasadnienie (1 zdanie): trójkąt równoramienny ma oś symetrii przechodzącą przez wierzchołek i środek podstawy, więc kąty przy podstawie są przystające.

Wzory do zapamiętania

• Jeśli kąt wierzchołkowy to \( \theta \), to każdy kąt przy podstawie: \[ \alpha = \beta = \frac{180^\circ - \theta}{2}. \]
• Jeśli kąt przy podstawie to \( \alpha \), to kąt wierzchołkowy: \[ \theta = 180^\circ - 2\alpha. \]

Przykład

Dane: trójkąt równoramienny, kąt wierzchołkowy \(40^\circ\). Oblicz kąty przy podstawie.

Pułapka (bardzo częsta)

• Błąd: \(180^\circ - 50^\circ + 60^\circ\) zamiast \(180^\circ - (50^\circ + 60^\circ)\).
• Jak się bronić: zawsze najpierw dodaj znane kąty w nawiasie, dopiero potem odejmuj od \(180^\circ\).
• Drugi błąd: w trójkącie równoramiennym mylenie kątów przy podstawie z kątem wierzchołkowym.

Sprawdź się

1. W trójkącie dwa kąty mają miary \(35^\circ\) i \(80^\circ\). Oblicz trzeci kąt.
2. W trójkącie jeden kąt ma \(90^\circ\), a drugi \(25^\circ\). Oblicz trzeci kąt.
3. Trójkąt równoramienny ma kąty przy podstawie po \(48^\circ\). Oblicz kąt wierzchołkowy.
4. Trójkąt równoramienny ma kąt wierzchołkowy \(100^\circ\). Oblicz kąty przy podstawie.
5. W trójkącie kąty mają miary \(x\), \(50^\circ\), \(60^\circ\). Oblicz \(x\).
6. Trójkąt równoramienny: kąt przy podstawie to \(a\). Zapisz wzór na kąt wierzchołkowy \(\theta\) w zależności od \(a\).

Odpowiedzi

1. \(180^\circ - (35^\circ + 80^\circ) = 65^\circ\).
2. \(180^\circ - (90^\circ + 25^\circ) = 65^\circ\).
3. \(\theta = 180^\circ - 2\cdot 48^\circ = 84^\circ\).
4. \(\alpha = \beta = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ\).
5. \(x = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ\).
6. \(\theta = 180^\circ - 2a\).