8. Warunek istnienia trójkąta i konstrukcja z 3 boków (SSS)
Trzy patyczki nie zawsze dają się zamknąć w trójkąt. Gdy najdłuższy jest zbyt długi, dwa pozostałe nie dosięgną do siebie.
Po tej lekcji: Sprawdzisz istnienie trójkąta i skonstruujesz go z trzech podanych długości.Na początek: Znasz odcinki, dodawanie długości i okrąg kreślony cyrklem. Przygotuj cyrkiel i linijkę.
Potrzebna jest ścisła nierówność
Trzy dodatnie długości są bokami trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy suma każdych dwóch jest większa od trzeciej. Po uporządkowaniu długości wystarczy porównać sumę dwóch krótszych z najdłuższą.
Dlaczego wystarczy jedno porównanie? Najdłuższy bok dodany do dowolnego dodatniego boku na pewno jest dłuższy od trzeciego. Trudność może wystąpić tylko przy sumie dwóch krótszych.
Przykład: trzy rozstrzygnięcia
- 4, 5, 6 cm: 4 + 5 = 9 > 6, więc trójkąt istnieje.
- 2, 3, 6 cm: 2 + 3 = 5 < 6, więc nie istnieje.
- 3, 4, 7 cm: 3 + 4 = 7. Równość nie wystarcza — odcinki ułożą się na jednej prostej, bez wnętrza trójkąta.
Konstrukcja SSS: bok, bok, bok
Punkt C ma być jednocześnie w zadanej odległości od A i od B. Zbiór punktów w stałej odległości od A tworzy okrąg o środku A. Dlatego C znajdziemy na przecięciu dwóch okręgów lub odpowiednich łuków.
{"version":1,"elements":[{"type":"path","attrs":{"d":"M358.18516525781365 213.23619097949586 A200 200 0 0 0 182.43114854953163 65.76106038165088","fill":"none","stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"5 4"}},{"type":"path","attrs":{"d":"M391.0550811603747 105.60884830532072 A160 160 0 0 0 247.43075951804673 237.21629157329116","fill":"none","stroke":"#8A919B","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"5 4"}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"165,265 405,265 315,132.7124344467705","fill":"none","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"circle","attrs":{"cx":165,"cy":265,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":145,"y":285,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"A"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":405,"cy":265,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":425,"y":285,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"B"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":315,"cy":132.7124344467705,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":315,"y":112.71243444677049,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"C"}},{"type":"text","attrs":{"x":285,"y":298,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"6 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":185,"y":157,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"5 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":165,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"4 cm"}}]}
Konstruujemy boki 6 cm, 5 cm i 4 cm
- Warunek został sprawdzony: 4 + 5 > 6.
- Narysuj AB długości 6 cm.
- Ustaw rozwarcie cyrkla na 5 cm i ze środka A zakreśl łuk nad AB.
- Ustaw 4 cm i ze środka B zakreśl przecinający go łuk.
- Przecięcie nazwij C. Połącz A z C i B z C.
- Kontrola: |AC| = 5 cm, bo C leży na łuku o tym promieniu; analogicznie |BC| = 4 cm.
Przecięcie pod AB dałoby trójkąt będący lustrzanym odbiciem pierwszego — o tych samych bokach. Nie jest to nowy zestaw długości.
Gdy szukamy możliwej długości
Dwa boki mają 4 cm i 7 cm, trzeci x cm. Z nierówności x + 4 > 7 oraz 4 + 7 > x dostajemy 3 < x < 11. Granice nie są dopuszczalne. Na przykład całkowite x mogą wynosić 4, 5, 6, 7, 8, 9 lub 10.
Nie dopasowuj punktu „na oko”. Pozostaw ślady łuków konstrukcyjnych. Jeśli się nie przecinają mimo poprawnych danych, sprawdź promienie i długość podstawy.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Dodaj dwie krótsze.
Rozwiązanie i kontrola
Tak: 6 + 8 = 14 > 13.
Zadanie 2
Wskazówka
Zwróć uwagę na ścisłość nierówności.
Rozwiązanie i kontrola
Nie: 5 + 5 = 10. Nie ma miejsca na dodatnią wysokość.
Zadanie 3
Wskazówka
Musi być większy od różnicy i mniejszy od sumy.
Rozwiązanie i kontrola
2 < x < 8, więc 3, 4, 5, 6 lub 7 cm.
Zadanie 4
Wskazówka
Podstawa 6 cm; oba łuki mają promień 5 cm.
Rozwiązanie i kontrola
Z końców podstawy zakreśl łuki o promieniu 5 cm. Połącz ich przecięcie z końcami. Kontrola: równe ramiona po 5 cm, podstawa 6 cm; łuki powinny pozostać widoczne.
Zadanie 5
Wskazówka
Porównaj długości, nie położenie C.
Rozwiązanie i kontrola
Będzie miał te same długości boków, lecz zamienią się |AC| i |BC|. Nowy rysunek jest odbiciem poprzedniego względem symetralnej AB.
Co warto zachować w pamięci?
Najpierw sprawdź sumę dwóch krótszych boków. W konstrukcji przecięcie łuków zapewnia dwie wymagane odległości jednocześnie.
