Nierówność trójkąta i konstrukcja trójkąta z trzech odcinków (SSS)

Hook / Misja: Wyobraź sobie, że masz trzy patyczki. Czy zawsze da się z nich ułożyć trójkąt? Twoja misja na egzamin: w kilka sekund rozstrzygnąć „da się / nie da się”, a jeśli się da — umieć go poprawnie skonstruować cyrklem i linijką.

Cel lekcji

• Wiesz, kiedy trójkąt istnieje, a kiedy nie (nierówność trójkąta).
• Umiesz zastosować szybki algorytm sprawdzania dla trzech długości.
• Potrafisz wykonać konstrukcję trójkąta metodą SSS (trzy boki) i skontrolować poprawność.

Warunek istnienia trójkąta (nierówność trójkąta)

Trzy odcinki o długościach \(a\), \(b\), \(c\) są bokami pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie trzy nierówności:

Uwaga ważna na egzamin: tu musi być >, a nie \(\ge\). Jeśli np. \(a+b=c\), to otrzymujesz przypadek brzegowy: odcinki „układają się w linię” (trójkąt zdegenerowany) — to nie jest właściwy trójkąt.

Algorytm sprawdzenia (najszybszy sposób)

Żeby nie liczyć trzech nierówności, zrób tak:

1. Uporządkuj długości od najmniejszej do największej: \(x\le y\le z\).
2. Sprawdź tylko jedną nierówność: \(\;x+y>z\).

Dlaczego to działa? Jeśli największy bok \(z\) jest krótszy niż suma dwóch pozostałych, to pozostałe nierówności automatycznie są spełnione.

Szybka kontrola – przykłady:

• \(3,4,5\): \(3+4=7>5\) — trójkąt istnieje.
• \(2,3,5\): \(2+3=5\) — nie istnieje (zdegenerowany).
• \(1,2,4\): \(1+2=3<4\) — nie istnieje.

O co chodzi w konstrukcji SSS?

SSS oznacza: znamy trzy boki. Wybieramy jeden bok jako podstawę \(AB\). Potem szukamy punktu \(C\), który jest:

• w odległości \(a\) od punktu \(A\),
• w odległości \(b\) od punktu \(B\).

Cyrkiel pomaga, bo rysuje okrąg (lub łuk) punktów w stałej odległości od środka. Punkt przecięcia dwóch łuków daje wierzchołek \(C\).

Konstrukcja trójkąta z trzech odcinków (SSS) — kroki

Załóżmy, że chcesz skonstruować trójkąt o bokach \(a\), \(b\), \(c\). Najwygodniej wziąć największy bok jako podstawę.

1. Sprawdź istnienie: uporządkuj długości i sprawdź \(\;x+y>z\). Jeśli nie — przerwij, konstrukcja się nie uda.
2. Podstawa: narysuj odcinek \(AB\) o długości \(c\) (najczęściej \(c\) jest największe).
3. Łuk z \(A\): ustaw cyrkiel na długość \(a\). Z środka \(A\) narysuj łuk (część okręgu).
4. Łuk z \(B\): ustaw cyrkiel na długość \(b\). Z środka \(B\) narysuj drugi łuk.
5. Wierzchołek: punkt przecięcia łuków oznacz jako \(C\). Jeśli są dwa punkty przecięcia, masz dwa możliwe trójkąty — symetryczne względem prostej \(AB\) (wybierz jeden).
6. Połączenie: połącz \(C\) z \(A\) i \(C\) z \(B\). Otrzymujesz trójkąt \(ABC\).

Kontrola poprawności (po konstrukcji)

• Czy łuki się przecięły? Jeśli nie, to w praktyce oznacza, że warunek \(\;x+y>z\) nie jest spełniony (albo wymiary zostały błędnie przeniesione cyrklem).
• Czy łuki mają dokładnie jeden punkt wspólny? To zwykle przypadek \(\;x+y=z\) — trójkąt zdegenerowany (wyszedłby „odcinek”, nie trójkąt).
• Sprawdź boki: porównaj długości \(AC\) i \(BC\) z danymi odcinkami (linijką albo cyrklem). Powinno wyjść odpowiednio \(a\) i \(b\).
• Egzaminowy tip: jeśli w zadaniu podejrzewasz trójkąt prostokątny, sprawdź (dla najdłuższego boku \(c\)): \(\;a^2+b^2=c^2\).

Pułapka (na co uważać)

• „Równa się” to nie trójkąt: \(\;x+y=z\) wygląda podobnie do warunku, ale to przypadek brzegowy — trójkąt nie istnieje.
• Najpierw sprawdzaj, potem rysuj: bez sprawdzenia możesz stracić czas, bo łuki się nie przetną.
• Niedokładność pomiaru: gdy liczby są „na styk”, np. \(4,6,10\), łatwo o błąd. Matematycznie \(4+6=10\) — nie wolno uznać tego za trójkąt.

Sprawdź się

Zadanie 1. Czy z odcinków \(5\), \(7\), \(11\) da się zbudować trójkąt?

Zadanie 2. Czy z odcinków \(3\), \(3\), \(6\) da się zbudować trójkąt?

Zadanie 3. Masz \(a=4\), \(b=6\), \(c=7\). Sprawdź warunek istnienia najkrótszym algorytmem.

Zadanie 4. Podstawa ma długość \(c\). Ile różnych trójkątów możesz otrzymać z danych \(a\), \(b\), \(c\) (jeśli trójkąt istnieje) i dlaczego?

Zadanie 5. Wyjaśnij jednym zdaniem, co oznacza fakt, że łuki są styczne (mają dokładnie jeden punkt wspólny).

Zadanie 6. Czy z odcinków \(8\), \(10\), \(12\) da się zbudować trójkąt? Jeśli tak, wskaż, jaki bok jest najlepszą podstawą w konstrukcji SSS.

Odpowiedzi

• 1. Tak, bo \(5+7=12>11\).
• 2. Nie, bo \(3+3=6\) — przypadek zdegenerowany.
• 3. Porządkujemy: \(4\le 6\le 7\). Sprawdzamy \(4+6=10>7\) — trójkąt istnieje.
• 4. Zwykle dwa: punkt \(C\) może wypaść po jednej albo po drugiej stronie prostej \(AB\) (symetria względem \(AB\)).
• 5. To oznacza przypadek graniczny \(\;a+b=c\) (albo po uporządkowaniu \(\;x+y=z\)) — trójkąt zdegenerowany.
• 6. Tak, bo \(8+10=18>12\). Najwygodniej wziąć jako podstawę najdłuższy bok, czyli \(12\).