10. Czworokąty – własności i rozpoznawanie (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez)
Kwadrat nie przestaje być prostokątem tylko dlatego, że ma równe boki. Nazwy figur tworzą rodziny, a ich rozpoznawanie opiera się na własnościach.
Po tej lekcji: Rozpoznasz podstawowe czworokąty i wykorzystasz ich boki, kąty oraz przekątne w prostych zadaniach.Na początek: Znasz równoległość, prostopadłość i kąty przyległe. Przekątna łączy niesąsiednie wierzchołki.
Od szerszej rodziny do szczególnego przypadku
Równoległobok ma dwie pary przeciwległych boków równoległych. Prostokąt ma cztery kąty proste. Romb ma cztery równe boki. Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem.
Przyjmujemy definicję: trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Zatem równoległobok też jest trapezem. W niektórych podręcznikach spotkasz definicję „dokładnie jedna para” — w zadaniu kieruj się podaną konwencją.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":230,"y":18,"width":140,"height":44,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":2,"rx":8}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":47,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"kwadrat"}},{"type":"rect","attrs":{"x":75,"y":118,"width":160,"height":44,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":2,"rx":8}},{"type":"text","attrs":{"x":155,"y":147,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"prostokąt"}},{"type":"rect","attrs":{"x":385,"y":118,"width":140,"height":44,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":2,"rx":8}},{"type":"text","attrs":{"x":455,"y":147,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"romb"}},{"type":"rect","attrs":{"x":195,"y":218,"width":210,"height":44,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":2,"rx":8}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":247,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"równoległobok"}},{"type":"rect","attrs":{"x":220,"y":320,"width":160,"height":44,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":2,"rx":8}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":349,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"trapez"}},{"type":"line","attrs":{"x1":250,"y1":63,"x2":155,"y2":115,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"155,115 166.1726161220332,114.58448948306487 161.37116125967182,105.81260079221236","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":350,"y1":63,"x2":455,"y2":115,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"455,115 448.25770673549687,106.08139688429651 443.81974154873535,115.0426727421804","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":155,"y1":163,"x2":250,"y2":215,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"250,215 243.62883874032818,205.81260079221238 238.8273838779668,214.58448948306489","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":455,"y1":163,"x2":350,"y2":215,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"350,215 361.18025845126465,215.0426727421804 356.74229326450313,206.0813968842965","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":300,"y1":264,"x2":300,"y2":316,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"300,316 305,306 295,306","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}}]}
Własności, które przydają się w obliczeniach
- W równoległoboku przeciwległe boki i kąty są równe, a kąty sąsiednie sumują się do 180°. Przekątne dzielą się na połowy.
- W prostokącie przekątne dodatkowo są równe, ale nie muszą być prostopadłe.
- W rombie przekątne są prostopadłe, dzielą się na połowy i dzielą kąty przy wierzchołkach na połowy. Nie muszą być równe.
- Kwadrat ma wszystkie wymienione własności prostokąta i rombu.
- W dowolnym trapezie kąty przy tym samym ramieniu między równoległymi podstawami sumują się do 180°. Nie zakładamy ogólnej równości ramion ani przekątnych.
Przykład: równoległobok ABCD
Wierzchołki zapisano kolejno. Kąt A ma 65°, bok AB ma 8 cm, a BC ma 5 cm.
- Kąt C leży naprzeciw A, więc ma 65°.
- Kąt B jest sąsiedni do A: 180° − 65° = 115°. D też ma 115°.
- Przeciwległe boki są równe: |CD| = 8 cm, |AD| = 5 cm.
- Kontrola sumy kątów: 65° + 115° + 65° + 115° = 360°.
Przykład: przekątne prostokąta
Przekątne AC i BD przecinają się w O, a |AC| = 10 cm. Skoro przekątne prostokąta są równe, |BD| = 10 cm. Dzielą się na połowy, więc |AO| = |BO| = |CO| = |DO| = 5 cm.
Nie odwracaj dowolnie zdania. Każdy kwadrat jest rombem, ale nie każdy romb jest kwadratem. Sama równość przekątnych dowolnego czworokąta nie wystarcza do uznania go za prostokąt — ma ją również trapez równoramienny niebędący prostokątem.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Połącz własności rombu i prostokąta.
Rozwiązanie i kontrola
Kwadrat. Jest też rombem, prostokątem i równoległobokiem.
Zadanie 2
Wskazówka
Sąsiednie sumują się do 180°.
Rozwiązanie i kontrola
108°, 72°, 108°.
Zadanie 3
Wskazówka
Obie przekątne są równe i dzielą się na połowy.
Rozwiązanie i kontrola
14 : 2 = 7 cm od każdego wierzchołka.
Zadanie 4
Wskazówka
Każdą przekątną podziel osobno.
Rozwiązanie i kontrola
Pierwszą na dwa odcinki po 6 cm, drugą na dwa po 8 cm. Nie wszystkie cztery odcinki są równe.
Zadanie 5
Wskazówka
Sprawdź słowa „co najmniej”.
Rozwiązanie i kontrola
Tak. Dwie pary równoległych boków spełniają wymaganie co najmniej jednej pary.
Zadanie 6
Wskazówka
Równoległe podstawy dają sumę 180°.
Rozwiązanie i kontrola
180° − 110° = 70°.
Co warto zachować w pamięci?
Rozpoznawaj figurę po warunkach, nie po wyglądzie. Własności szczególnej figury nie muszą dotyczyć całej rodziny.
