11. Symetria osiowa figur – osie symetrii na poziomie figur płaskich
Złożenie kartki wzdłuż pewnej linii może dokładnie nałożyć jedną część figury na drugą. Jeśli choć jeden fragment nie pasuje, ta linia nie jest osią symetrii.
Po tej lekcji: Narysujesz odbicie punktu i figury oraz rozpoznasz osie symetrii podstawowych figur.Na początek: Umiesz narysować prostopadłą i odmierzyć równe odległości.
Odbicie ma dwa warunki
Obraz P′ punktu P leżącego poza osią s znajduje się po drugiej stronie s. Odcinek PP′ jest prostopadły do s, a jego środek leży na s. Punkt leżący na osi pozostaje w tym samym miejscu.
{"version":1,"elements":[{"type":"line","attrs":{"x1":300,"y1":30,"x2":300,"y2":280,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"7 5"}},{"type":"text","attrs":{"x":320,"y":40,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"s"}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"90,240 245,240 210,90","fill":"#DCEBFA","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"510,240 355,240 390,90","fill":"#FFF3BE","stroke":"#1769D3","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":210,"y1":90,"x2":390,"y2":90,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5,"stroke-dasharray":"5 4"}},{"type":"path","attrs":{"d":"M300 75h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"circle","attrs":{"cx":210,"cy":90,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":190,"y":75,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"P"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":390,"cy":90,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":410,"y":75,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"P′"}},{"type":"text","attrs":{"x":252,"y":72,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"d"}},{"type":"text","attrs":{"x":345,"y":72,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"d"}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":310,"font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"Odbite trójkąty mają równe boki i kąty."}}]}
Przykład: odbicie punktu
- Poprowadź przez P prostopadłą do osi s. Punkt przecięcia nazwij H.
- Zmierz PH. Jeśli wynosi 2 cm, od H odmierz po drugiej stronie osi również 2 cm.
- Zaznacz P′. Odległość między P i P′ wynosi teraz 4 cm.
- Sprawdź oba warunki: równe odległości od osi i prostopadłość PP′ do osi.
Aby odbić trójkąt, odbij jego trzy wierzchołki tą samą metodą i połącz obrazy w odpowiadającej kolejności. Długości boków i miary kątów pozostaną niezmienione.
Odbicie figury a jej oś symetrii
Odbicie figury można wykonać względem dowolnej prostej. Natomiast oś symetrii figury to taka prosta, względem której obraz całej figury pokrywa się z nią samą. Dwa osobne lustrzane trójkąty nie oznaczają automatycznie, że każdy z nich ma tę prostą jako własną oś.
- Kwadrat ma 4 osie: dwie przekątne i dwie proste przez środki przeciwległych boków.
- Prostokąt niebędący kwadratem ma 2 osie: przez środki przeciwległych boków.
- Romb niebędący kwadratem ma 2 osie: jego przekątne.
- Trójkąt równoboczny ma 3 osie. Równoramienny niebędący równobocznym ma 1, różnoboczny nie ma żadnej.
- Koło i okrąg mają nieskończenie wiele osi: każdą prostą przez środek.
Czy przekątna prostokąta 6 cm × 3 cm jest osią?
Po złożeniu wzdłuż przekątnej bok długości 6 cm musiałby pokryć się z bokiem długości 3 cm. To niemożliwe. Przekątna jest osią prostokąta tylko wtedy, gdy jest on kwadratem.
Równe pola połówek nie wystarczą. Oś musi zapewniać dokładne pokrycie punkt po punkcie, nie tylko podział pola na połowy. Nie zgaduj osi po samym „środku” rysunku.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Oś leży w połowie odcinka między obrazami.
Rozwiązanie i kontrola
2 · 3,5 = 7 cm. Oba punkty są po przeciwnych stronach osi.
Zadanie 2
Wskazówka
Punkty osi są nieruchome.
Rozwiązanie i kontrola
Q′ = Q, w tym samym miejscu.
Zadanie 3
Wskazówka
Oddziel przypadek szczególny.
Rozwiązanie i kontrola
Odpowiednio 3 i 1.
Zadanie 4
Wskazówka
Uwzględnij przekątne i środki boków.
Rozwiązanie i kontrola
Cztery proste: dwie przekątne oraz dwie łączące środki przeciwległych boków. Złożenie wzdłuż każdej nakłada cały kwadrat na siebie.
Zadanie 5
Wskazówka
Odbij każdy wierzchołek osobno.
Rozwiązanie i kontrola
Każda para odpowiadających punktów leży na poziomej prostopadłej do osi i w równych odległościach od niej. Po połączeniu obrazy boków mają długości takie jak oryginały.
Co warto zachować w pamięci?
Odbicie wymaga równych odległości i prostopadłości. Oś symetrii nakłada całą figurę na nią samą; nie jest tylko linią równego podziału pola.
