3. Równoległość i prostopadłość – rozpoznawanie i zastosowania
Dwie kreski nie przecinają się na kartce. To jeszcze nie dowód, że są równoległe — ich przedłużenia mogą spotkać się dalej.
Po tej lekcji: Rozpoznasz i uzasadnisz równoległość oraz prostopadłość prostych na płaszczyźnie.Na początek: Wiesz, czym jest prosta i odcinek. Kąt prosty ma 90°.
Relacja dotyczy całych prostych
Dwie różne proste na jednej płaszczyźnie są równoległe, jeśli nie mają punktu wspólnego. Zapisujemy a ∥ b. Proste prostopadłe przecinają się pod kątem 90°; zapisujemy c ⟂ d.
Proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste. Obrócenie kartki nie zmienia tej własności. Równoległe nie muszą być poziome, a prostopadłe nie muszą być pionową i poziomą kreską.
{"version":1,"elements":[{"type":"line","attrs":{"x1":60,"y1":105,"x2":545,"y2":105,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":60,"y1":235,"x2":545,"y2":235,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":270,"y1":40,"x2":270,"y2":285,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"path","attrs":{"d":"M270 90h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"path","attrs":{"d":"M270 220h15v15","fill":"none","stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":565,"y":112,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"a"}},{"type":"text","attrs":{"x":565,"y":242,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"b"}},{"type":"text","attrs":{"x":270,"y":28,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"c"}},{"type":"text","attrs":{"x":435,"y":175,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"a ∥ b"}},{"type":"text","attrs":{"x":130,"y":175,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"c ⟂ a, c ⟂ b"}}]}
Co wolno wywnioskować?
W jednej płaszczyźnie dwie różne proste prostopadłe do tej samej prostej są równoległe. Mają bowiem ten sam kierunek. Jeśli a ∥ b i c ⟂ a, to również c ⟂ b. W zadaniu zapisuj te zależności, zamiast powoływać się tylko na wygląd rysunku.
Przykład: boki prostokąta
Wierzchołki prostokąta ABCD zapisano kolejno wokół brzegu.
- AB i BC to boki sąsiednie. Tworzą kąt prosty, więc AB ⟂ BC.
- AB i CD są przeciwległe, więc AB ∥ CD.
- Analogicznie BC ∥ AD.
- Prosta k prostopadła do AB będzie też prostopadła do CD, ponieważ AB i CD są równoległe.
Gdy używamy nazw boków w relacjach prostych, mamy na myśli także proste zawierające te boki.
Jak sprawdzić lub narysować?
Prostopadłość sprawdzisz narożnikiem ekierki. Aby narysować przez punkt prostą równoległą do danej, można przesuwać ekierkę wzdłuż nieruchomej linijki: rysująca krawędź zachowuje kierunek. Samo zmierzenie odstępu w jednym miejscu nie potwierdza równoległości.
Przecinanie to nie prostopadłość. Kąt 70° też oznacza przecięcie, ale nie prostopadłość. Również przekątne prostokąta nie muszą być prostopadłe — wystarczy pomyśleć o bardzo długim i wąskim prostokącie.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Porównaj z definicjami.
Rozwiązanie i kontrola
Nie są ani prostopadłe (brakuje 90°), ani równoległe (mają punkt wspólny).
Zadanie 2
Wskazówka
Prosta c przecina obie równoległe pod tym samym kątem.
Rozwiązanie i kontrola
c ⟂ b. Kąt przy b także ma 90°.
Zadanie 3
Wskazówka
Wspólna prostopadła ustala kierunek p i q.
Rozwiązanie i kontrola
p ∥ q. Warunki „różne” i „w jednej płaszczyźnie” są tu istotne.
Zadanie 4
Wskazówka
Przeciwległy jest równoległy, sąsiednie są prostopadłe.
Rozwiązanie i kontrola
AD ∥ BC. Boki AB i CD są prostopadłe do BC.
Zadanie 5
Wskazówka
Pomyśl o przedłużeniu odcinków.
Rozwiązanie i kontrola
Nie. Można narysować fragmenty dwóch przecinających się prostych z dala od ich punktu przecięcia.
Co warto zachować w pamięci?
Sprawdzaj własności całych prostych. Prostopadłość oznacza dokładnie 90°, a nie dowolne przecięcie.
