Liczby • lekcja 14 z 15

Pierwiastki – wprowadzenie i szacowanie

Kwadrat ma pole 49 cm². Pytanie o długość jego boku prowadzi do pierwiastka: jaka nieujemna liczba po podniesieniu do kwadratu daje 49? To inne pytanie niż szukanie wszystkich rozwiązań równania x² = 49.

Na początek: Rozumiesz kwadrat i sześcian liczby, porównujesz liczby dodatnie i ujemne.

Pierwiastek kwadratowy ma jedną nieujemną wartość

{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":100,"y":25,"width":200,"height":200,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":136,"text-content":"49 cm²","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":31,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":100,"y1":242,"x2":300,"y2":242,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":100,"y1":235,"x2":100,"y2":249,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":300,"y1":235,"x2":300,"y2":249,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":278,"text-content":"7 cm","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":24,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":321,"text-content":"7² = 49 → √49 = 7","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":25,"fill":"#13233F"}}]}

Od pola do długości boku

1. Kwadrat ma pole 49 cm². Jeśli długość boku oznaczymy przez s, to s² = 49 przy s > 0.
2. Bok wynosi s = 7 cm. Jednostką długości jest cm, nie cm².
3. Kontrola: 7 cm · 7 cm = 49 cm². Ujemna długość nie ma tu sensu.

√0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10, √121 = 11, √144 = 12. Nie trzeba zgadywać: każdy wynik sprawdzisz, podnosząc go do kwadratu.

Symbol √ i równanie nie pytają o to samo

√25 a x² = 25

1. √25 = 5, ponieważ definicja wybiera wynik nieujemny. Nie zapisujemy √25 = ±5.
2. Równanie x² = 25 pyta o wszystkie liczby, które po podniesieniu do kwadratu dają 25. Są dwie: 5 oraz −5.
3. Dla x² = 0 jest tylko jedno rozwiązanie: x = 0. Ogólnie √(x²) = |x|, więc √((−5)²) = 5.

Znajdź dwa sąsiednie pełne kwadraty

Kwadraty liczb nieujemnych rosną wraz z tymi liczbami. Jeśli liczba pod pierwiastkiem leży między kwadratami dwóch kolejnych liczb całkowitych, jej pierwiastek leży między tymi liczbami.

Oszacuj √50

1. 7² = 49 i 8² = 64. Mamy 49 < 50 < 64.
2. Zatem 7 < √50 < 8. To dokładne ograniczenie, choć nie podaje dokładnej wartości pierwiastka.
3. Dla dokładniejszego oszacowania: 7,07² = 49,9849, a 7,08² = 50,1264. Stąd 7,07 < √50 < 7,08. Samo „blisko 49” nie wystarcza do wyznaczenia cyfr po przecinku.

Pierwiastek sześcienny dopuszcza wynik ujemny

Oblicz ∛(−64) i ∛125

1. 4³ = 64, więc (−4)³ = −64. Otrzymujemy ∛(−64) = −4.
2. 5³ = 125, więc ∛125 = 5. Przy sześcianie znak ujemny nie znika, bo mnożymy trzy ujemne czynniki.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Najważniejsze zależności

Pierwiastek kwadratowy wybiera wartość nieujemną. Pierwiastek sześcienny może być ujemny. Do szacowania używaj kwadratów sąsiednich liczb i kontroluj wynik potęgowaniem.