Pierwiastki – wprowadzenie i szacowanie
Scenka z życia: masz kwadratową płytkę o polu \(25\ \text{cm}^2\). Jak długi jest bok? To pytanie prowadzi prosto do pierwiastków: bok to \(\sqrt{25}=5\).
Co to jest pierwiastek?
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej \(x\) to liczba, która po podniesieniu do kwadratu daje \(x\):
\(\sqrt{x}=a\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a^2=x\).
Na poziomie szkolnym, gdy piszemy \(\sqrt{x}\), mamy na myśli główny pierwiastek (nieujemny). Dlatego \(\sqrt{25}=5\), a nie \(-5\) (choć \((-5)^2=25\)).
Pierwiastek sześcienny działa podobnie:
\(\sqrt[3]{x}=a\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a^3=x\).
Tu można mieć także wyniki ujemne, np. \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
„Bank pewniaków” (warto znać)
Na egzaminie często wygrywa pamięć kilku kwadratów:
- \(5^2=25\), \(6^2=36\), \(7^2=49\), \(8^2=64\), \(9^2=81\), \(10^2=100\), \(11^2=121\), \(12^2=144\).
oraz kilku sześcianów:
- \(2^3=8\), \(3^3=27\), \(4^3=64\), \(5^3=125\).
Szacowanie pierwiastków (sprytna lupa)
Gdy liczba nie jest „idealnym kwadratem”, szacujemy, między jakimi kwadratami leży. To działa błyskawicznie:
Przykład: \(\sqrt{50}\). Ponieważ \(7^2=49\) i \(8^2=64\), to \(49<50<64\), więc \(7<\sqrt{50}<8\) (i będzie bliżej 7).
Przykład 1
Oblicz:
- \(\sqrt{144}\)
- \(\sqrt{0,49}\)
- \(\sqrt[3]{27}\)
- \(\sqrt{\frac{9}{16}}\)
Rozwiązanie:
- \(\sqrt{144}=12\), bo \(12^2=144\).
- \(\sqrt{0,49}=0,7\), bo \(0,7^2=0,49\).
- \(\sqrt[3]{27}=3\), bo \(3^3=27\).
- \(\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\), bo \(\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\).
Przykład 2
Między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leży \(\sqrt{137}\)?
Rozwiązanie: \(11^2=121\), \(12^2=144\), więc \(11<\sqrt{137}<12\).
Sprawdź się
- Bez liczenia na kalkulatorze: między jakimi liczbami leży \(\sqrt{90}\)?
- Czy \(\sqrt{0,81}\) jest większe czy mniejsze od 1?
Szybkie odpowiedzi: (1) \(9^2=81\), \(10^2=100\), więc między 9 a 10. (2) \(\sqrt{0,81}=0,9\), więc mniejsze od 1.
