Pierwiastki – wprowadzenie i szacowanie
Scenka z życia: masz kwadratową płytkę o polu \(25\ \text{cm}^2\). Jak długi jest bok? To pytanie prowadzi prosto do pierwiastków: bok to \(\sqrt{25}=5\).
Cel lekcji
- zrozumiesz, czym jest pierwiastek kwadratowy i sześcienny,
- nauczysz się rozpoznawać proste pierwiastki z pamięci,
- oszacujesz pierwiastek, gdy liczba nie jest idealnym kwadratem.
1. Co właściwie oznacza pierwiastek?
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":400,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":52,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Pierwiastek kwadratowy szuka boku kwadratu"}},{"type":"rect","attrs":{"x":220,"y":100,"width":190,"height":190,"fill":"#DBEAFE","stroke":"#2563EB","stroke-width":4}},{"type":"text","attrs":{"x":315,"y":205,"text-anchor":"middle","font-size":31,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"pole"}},{"type":"text","attrs":{"x":315,"y":245,"text-anchor":"middle","font-size":31,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"25 cm²"}},{"type":"line","attrs":{"x1":220,"y1":315,"x2":410,"y2":315,"stroke":"#2563EB","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":315,"y":350,"text-anchor":"middle","font-size":26,"font-weight":700,"fill":"#2563EB","text-content":"bok 5 cm"}},{"type":"text","attrs":{"x":590,"y":220,"text-anchor":"middle","font-size":58,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"√25 = 5"}}]}
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej \(x\) to taka liczba \(a\), że:
\[ \sqrt{x}=a \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad a^2=x. \]
Na poziomie szkolnym zapis \(\sqrt{x}\) oznacza główny pierwiastek, czyli nieujemny. Dlatego \(\sqrt{25}=5\), a nie \(-5\).
Pierwiastek sześcienny działa podobnie:
\[ \sqrt[3]{x}=a \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad a^3=x. \]
Tutaj wynik może być też ujemny, np. \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
2. Obraz, który warto zapamiętać
Jeśli pole kwadratu wynosi 25, to bok musi spełniać warunek:
bok x bok = 25
5 x 5 = 25Dlatego \(\sqrt{25}=5\). Pierwiastek odpowiada na pytanie: jaką liczbę trzeba pomnożyć przez samą siebie, aby dostać daną wartość?
3. Bank pewniaków
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":400,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":52,"text-anchor":"middle","font-size":31,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Pewne kwadraty — karta pamięci"}},{"type":"rect","attrs":{"x":100,"y":95,"width":600,"height":230,"rx":18,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#CBD5E1","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":240,"y":145,"text-anchor":"middle","font-size":32,"font-weight":700,"fill":"#2563EB","text-content":"5² = 25"}},{"type":"text","attrs":{"x":560,"y":145,"text-anchor":"middle","font-size":32,"font-weight":700,"fill":"#7C3AED","text-content":"6² = 36"}},{"type":"text","attrs":{"x":240,"y":205,"text-anchor":"middle","font-size":32,"font-weight":700,"fill":"#2563EB","text-content":"7² = 49"}},{"type":"text","attrs":{"x":560,"y":205,"text-anchor":"middle","font-size":32,"font-weight":700,"fill":"#7C3AED","text-content":"8² = 64"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":275,"text-anchor":"middle","font-size":36,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"9² = 81"}}]}
Na egzaminie bardzo pomaga pamięć kilku gotowych wyników:
| Kwadraty | Sześciany |
|---|---|
| \(5^2=25\) | \(2^3=8\) |
| \(6^2=36\) | \(3^3=27\) |
| \(7^2=49\) | \(4^3=64\) |
| \(8^2=64\) | \(5^3=125\) |
| \(9^2=81\) | |
| \(10^2=100\) | |
| \(11^2=121\) | |
| \(12^2=144\) |
4. Szacowanie pierwiastków
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":400,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":52,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Szacujemy √50 między dwoma kwadratami"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":150,"text-anchor":"middle","font-size":42,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"7² = 49 < 50 < 64 = 8²"}},{"type":"line","attrs":{"x1":180,"y1":230,"x2":620,"y2":230,"stroke":"#64748B","stroke-width":4}},{"type":"circle","attrs":{"cx":220,"cy":230,"r":10,"fill":"#2563EB"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":580,"cy":230,"r":10,"fill":"#7C3AED"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":275,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#2563EB","text-content":"7"}},{"type":"text","attrs":{"x":580,"y":275,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#6D28D9","text-content":"8"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":350,"text-anchor":"middle","font-size":45,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"7 < √50 < 8"}}]}
Gdy liczba nie jest idealnym kwadratem, nie szukasz od razu dokładnego wyniku. Najpierw sprawdzasz, między jakimi dwoma znanymi kwadratami ona leży.
Przykład: \(\sqrt{50}\)
\(7^2=49\) i \(8^2=64\)
49 < 50 < 64
więc \(7 < \sqrt{50} < 8\)To wystarczy, by poprawnie oszacować wynik.
5. Przykłady
- \(\sqrt{144}=12\), bo \(12^2=144\).
- \(\sqrt{0,49}=0,7\), bo \(0,7^2=0,49\).
- \(\sqrt[3]{27}=3\), bo \(3^3=27\).
- \(\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\), bo \(\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\).
Przykład z przedziałem
Między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leży \(\sqrt{137}\)?
\(11^2=121\), \(12^2=144\), więc:
\[ 11 < \sqrt{137} < 12. \]
Pułapka egzaminacyjna
Nie myl dwóch zdań:
- \(\sqrt{25}=5\),
- ale równanie \(x^2=25\) ma dwa rozwiązania: \(x=5\) oraz \(x=-5\).
Sprawdź się
- Między jakimi liczbami leży \(\sqrt{90}\)?
- Czy \(\sqrt{0,81}\) jest większe czy mniejsze od 1?
Odpowiedzi
- \(9^2=81\), \(10^2=100\), więc \(9<\sqrt{90}<10\).
- \(\sqrt{0,81}=0,9\), więc jest mniejsze od 1.
Wniosek: przy pierwiastkach nie musisz zgadywać. Szukasz liczby, której kwadrat lub sześcian daje podaną wartość, a jeśli wynik nie jest oczywisty, zamykasz go między dwoma znanymi punktami.
