Pierwiastki – wprowadzenie i szacowanie
Scenka z życia: masz kwadratową płytkę o polu \(25\ \text{cm}^2\). Jak długi jest bok? To pytanie prowadzi prosto do pierwiastków: bok to \(\sqrt{25}=5\).
Cel lekcji
- zrozumiesz, czym jest pierwiastek kwadratowy i sześcienny,
- nauczysz się rozpoznawać proste pierwiastki z pamięci,
- oszacujesz pierwiastek, gdy liczba nie jest idealnym kwadratem.
1. Co właściwie oznacza pierwiastek?
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej \(x\) to taka liczba \(a\), że:
\[ \sqrt{x}=a \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad a^2=x. \]
Na poziomie szkolnym zapis \(\sqrt{x}\) oznacza główny pierwiastek, czyli nieujemny. Dlatego \(\sqrt{25}=5\), a nie \(-5\).
Pierwiastek sześcienny działa podobnie:
\[ \sqrt[3]{x}=a \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad a^3=x. \]
Tutaj wynik może być też ujemny, np. \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
2. Obraz, który warto zapamiętać
Jeśli pole kwadratu wynosi 25, to bok musi spełniać warunek:
bok x bok = 25
5 x 5 = 25Dlatego \(\sqrt{25}=5\). Pierwiastek odpowiada na pytanie: jaką liczbę trzeba pomnożyć przez samą siebie, aby dostać daną wartość?
3. Bank pewniaków
Na egzaminie bardzo pomaga pamięć kilku gotowych wyników:
| Kwadraty | Sześciany |
|---|---|
| \(5^2=25\) | \(2^3=8\) |
| \(6^2=36\) | \(3^3=27\) |
| \(7^2=49\) | \(4^3=64\) |
| \(8^2=64\) | \(5^3=125\) |
| \(9^2=81\) | |
| \(10^2=100\) | |
| \(11^2=121\) | |
| \(12^2=144\) |
4. Szacowanie pierwiastków
Gdy liczba nie jest idealnym kwadratem, nie szukasz od razu dokładnego wyniku. Najpierw sprawdzasz, między jakimi dwoma znanymi kwadratami ona leży.
Przykład: \(\sqrt{50}\)
\(7^2=49\) i \(8^2=64\)
49 < 50 < 64
więc \(7 < \sqrt{50} < 8\)To wystarczy, by poprawnie oszacować wynik.
5. Przykłady
- \(\sqrt{144}=12\), bo \(12^2=144\).
- \(\sqrt{0,49}=0,7\), bo \(0,7^2=0,49\).
- \(\sqrt[3]{27}=3\), bo \(3^3=27\).
- \(\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\), bo \(\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\).
Przykład z przedziałem
Między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leży \(\sqrt{137}\)?
\(11^2=121\), \(12^2=144\), więc:
\[ 11 < \sqrt{137} < 12. \]
Pułapka egzaminacyjna
Nie myl dwóch zdań:
- \(\sqrt{25}=5\),
- ale równanie \(x^2=25\) ma dwa rozwiązania: \(x=5\) oraz \(x=-5\).
Sprawdź się
- Między jakimi liczbami leży \(\sqrt{90}\)?
- Czy \(\sqrt{0,81}\) jest większe czy mniejsze od 1?
Odpowiedzi
- \(9^2=81\), \(10^2=100\), więc \(9<\sqrt{90}<10\).
- \(\sqrt{0,81}=0,9\), więc jest mniejsze od 1.
Wniosek: przy pierwiastkach nie musisz zgadywać. Szukasz liczby, której kwadrat lub sześcian daje podaną wartość, a jeśli wynik nie jest oczywisty, zamykasz go między dwoma znanymi punktami.
