Działania na pierwiastkach i ich upraszczanie

Wyobraź sobie, że pierwiastki to paczki w magazynie. Nie zawsze da się je dodać „wprost”, ale często można je przepakować tak, żeby były lżejsze i łatwiejsze w obliczeniach. To właśnie nazywamy upraszczaniem.

Najważniejsza własność (mnożenie i dzielenie)

Dla pierwiastków tego samego stopnia (i w przypadku kwadratowych: dla liczb nieujemnych) działa:

• \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
• \(\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) (dla \(b\neq 0\))

Przykłady (mnożenie i dzielenie)

• \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\)
• \(\sqrt{27}:\sqrt{3}=\sqrt{9}=3\)
• \(\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2\)

Upraszczanie: „wyciąganie kwadratu” spod pierwiastka

Jeśli pod pierwiastkiem widzisz iloczyn, w którym jest pełny kwadrat, możesz go wyciągnąć przed znak pierwiastka:

\[\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}\]

To działa, bo \(25=5^2\).

Przykład 1

Uprość:

• \(\sqrt{98}\)
• \(2\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\)
• \(\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}\)

Rozwiązanie:

• \(\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}\)
• \(2\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}=2\sqrt{50}=2\cdot 5\sqrt{2}=10\sqrt{2}\)
• \(\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{32}{2}}=\sqrt{16}=4\)

Włączanie czynnika pod pierwiastek (ruch w drugą stronę)

Czasem wygodniej jest „schować” liczbę pod pierwiastkiem:

\[3\sqrt{7}=\sqrt{3^2\cdot 7}=\sqrt{63}\]

Pułapka egzaminacyjna: dodawanie pierwiastków

Nie wolno robić: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}\). To błąd.

Najpierw uprość \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), a dopiero potem dodawaj:

\(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\).

Sprawdź się

1. Uprość: \(\sqrt{72}\).
2. Oblicz: \(\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\).
3. Czy \(2\sqrt{3}+\sqrt{27}\) da się uprościć? Jeśli tak, to jak?

Odpowiedzi: (1) \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\). (2) \(\sqrt{36}=6\). (3) \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), więc \(2\sqrt{3}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\).