Liczby • lekcja 15 z 15

Działania na pierwiastkach i ich upraszczanie

√72 nie musi pozostać w tej postaci. Liczba 72 zawiera czynnik 36, którego pierwiastek znamy. Wyłączając go przed znak pierwiastka, otrzymasz zapis dokładny, bez zaokrąglania.

Na początek: Obliczasz pierwiastki kwadratowe, znasz rozkład na czynniki i rozdzielność mnożenia. Pracujemy w liczbach rzeczywistych.

Rozdzielaj iloczyn, nie sumę

Ta reguła pozwala wykorzystać pełny kwadrat ukryty w liczbie. Szukaj dzielnika będącego kwadratem liczby całkowitej, np. 4, 9, 16, 25, 36, 49. Największy taki dzielnik zwykle pozwala od razu zakończyć upraszczanie.

{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":25,"y":10,"width":350,"height":80,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":37,"text-content":"Wyodrębnij pełny kwadrat","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":70,"text-content":"√72 = √(36 · 2)","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":25,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":200,"y1":92,"x2":200,"y2":111,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"194,106 206,106 200,113","fill":"#1769D3"}},{"type":"rect","attrs":{"x":25,"y":115,"width":350,"height":80,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":142,"text-content":"Rozdziel pierwiastek iloczynu","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":175,"text-content":"√36 · √2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":25,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":200,"y1":197,"x2":200,"y2":216,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"194,211 206,211 200,218","fill":"#1769D3"}},{"type":"rect","attrs":{"x":25,"y":220,"width":350,"height":80,"fill":"#fff4bf","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":247,"text-content":"Oblicz pierwiastek z 36","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":280,"text-content":"6√2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":25,"fill":"#13233F"}}]}

Uprość √72

1. Rozłóż 72 = 36 · 2. Liczba 36 jest pełnym kwadratem.
2. √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Zapis 6√2 oznacza 6 · √2.
3. Pod pierwiastkiem zostało 2, które nie ma kwadratowego dzielnika większego od 1. Sprawdzenie: (6√2)² = 36 · 2 = 72, a wynik jest dodatni.

Gdy zaczniesz od 72 = 4 · 18, uzyskasz 2√18. To poprawna równość, ale nie koniec: √18 = 3√2, więc ostatecznie 2 · 3√2 = 6√2. Różne drogi prowadzą do tego samego uproszczonego zapisu.

Mnożenie i dzielenie

Dwa działania z dokładnym wynikiem

1. √12 · √3 = √(12 · 3) = √36 = 6. Możesz połączyć pierwiastki przed upraszczaniem.
2. √32 : √2 = √(32 : 2) = √16 = 4. Dzielnik √2 jest dodatni.
3. Dla 2√5 · √10 najpierw zachowaj współczynnik 2: 2√50 = 2 · 5√2 = 10√2. Nie wolno go zgubić.

Dodawanie: najpierw rozpoznaj takie same wyrazy

Współczynnik mówi, ile razy występuje dany pierwiastek. Tak jak 2 jabłka i 3 jabłka to 5 jabłek, tak 2√3 + 3√3 = 5√3. Matematycznie jest to rozdzielność: 2 · √3 + 3 · √3 = (2 + 3) · √3. W sumie √2 + √3 nie ma wspólnego pierwiastka, więc tego skrótu nie stosujemy.

Uprość √12 + √27

1. √12 = √(4 · 3) = 2√3.
2. √27 = √(9 · 3) = 3√3.
3. Teraz 2√3 + 3√3 = 5√3. Dopiero po uproszczeniu widać wspólny pierwiastek. Podobnie 5√3 − 2√3 = 3√3.

Włączenie czynnika działa odwrotnie

Dla nieujemnego współczynnika c mamy c√a = √(c² · a), jeśli a ≥ 0. Dlatego 3√7 = √(9 · 7) = √63, a nie √21. Kwadrat współczynnika jest konieczny. Dla ujemnego współczynnika minus zostaje na zewnątrz: −3√7 = −√63.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Najważniejsze zależności

Iloczyny i ilorazy pierwiastków łącz zgodnie z warunkami. Wyłączaj pełne kwadraty. W sumach i różnicach dodawaj współczynniki dopiero przy jednakowych pierwiastkach.