Dodawanie i odejmowanie ułamków

Misja: Jesteś w sklepie szkolnym. Masz w koszyku kawałki batonika i kanapki zapisane jako ułamki. Na egzaminie czasu mało, więc musisz liczyć szybko i bez wpadek: dodawać, odejmować, a na końcu podać wynik w najprostszej postaci.

Cel lekcji

• Dodajesz i odejmujesz ułamki o tych samych mianownikach.
• Sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika (najlepiej NWW) i wykonujesz działanie.
• Odejmujesz liczby mieszane (także z „pożyczaniem”) i zapisujesz wynik w poprawnej postaci.

Najważniejsza zasada

Nie wolno dodawać ani odejmować mianowników. Mianownik zostaje wspólny, a pracujesz na licznikach dopiero wtedy, gdy mianowniki są takie same.

Plan działania (algorytm na egzamin)

1. Sprawdź mianowniki. Jeśli są takie same — przejdź do kroku 4.
2. Znajdź wspólny mianownik (najlepiej \( \mathrm{NWW} \) mianowników).
3. Rozszerz ułamki do wspólnego mianownika (to, co mnożysz w mianowniku, mnożysz też w liczniku).
4. Dodaj/odejmij liczniki, a mianownik zostaw wspólny.
5. Uporządkuj wynik: skróć ułamek; jeśli wyszedł niewłaściwy, zamień na mieszany (jeśli tak zwykle podajesz na egzaminie).
6. Przy liczbach mieszanych: najczęściej najszybciej zamienić na ułamki niewłaściwe i liczyć jak wyżej; alternatywnie licz częściami i w razie potrzeby „pożycz” 1 całość.

Gdy mianowniki są takie same

Wtedy działasz tylko na licznikach:

\( \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3+1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

Gdy mianowniki są różne

Najpierw wspólny mianownik (najlepiej \( \mathrm{NWW} \)), potem rozszerzanie, dopiero na końcu dodawanie/odejmowanie liczników.

{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":55,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Wspólny mianownik: 12"}},{"type":"text","attrs":{"x":210,"y":145,"text-anchor":"middle","font-size":48,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"3/4"}},{"type":"text","attrs":{"x":590,"y":145,"text-anchor":"middle","font-size":48,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"5/6"}},{"type":"line","attrs":{"x1":210,"y1":165,"x2":210,"y2":215,"stroke":"#2563EB","stroke-width":5}},{"type":"line","attrs":{"x1":590,"y1":165,"x2":590,"y2":215,"stroke":"#7C3AED","stroke-width":5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"195,207 225,207 210,230","fill":"#2563EB"}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"575,207 605,207 590,230","fill":"#7C3AED"}},{"type":"text","attrs":{"x":210,"y":285,"text-anchor":"middle","font-size":48,"font-weight":700,"fill":"#2563EB","text-content":"9/12"}},{"type":"text","attrs":{"x":590,"y":285,"text-anchor":"middle","font-size":48,"font-weight":700,"fill":"#7C3AED","text-content":"10/12"}}]}

Przykład 1

Oblicz: \( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \).

Mianowniki to 4 i 6, więc bierzemy \( \mathrm{NWW}(4,6)=12 \). Rozszerzamy do mianownika 12:

\[ \frac{3}{4} = \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6} = \frac{5\cdot 2}{6\cdot 2} = \frac{10}{12}. \]

Teraz już prosto: \( 9+10=19 \), więc

\[ \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{19}{12}. \]

To ułamek niewłaściwy, więc możesz zamienić: \( \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12} \). Ułamek jest nieskracalny.

Przykład 2

{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":55,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Pożyczamy jeden cały jako części"}},{"type":"rect","attrs":{"x":120,"y":120,"width":160,"height":85,"rx":12,"fill":"#DBEAFE","stroke":"#2563EB","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":174,"text-anchor":"middle","font-size":36,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"1 cały"}},{"type":"line","attrs":{"x1":300,"y1":162,"x2":390,"y2":162,"stroke":"#2563EB","stroke-width":5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"390,162 367,149 367,175","fill":"#2563EB"}},{"type":"rect","attrs":{"x":430,"y":120,"width":70,"height":85,"fill":"#EDE9FE","stroke":"#7C3AED","stroke-width":3}},{"type":"rect","attrs":{"x":500,"y":120,"width":70,"height":85,"fill":"#EDE9FE","stroke":"#7C3AED","stroke-width":3}},{"type":"rect","attrs":{"x":570,"y":120,"width":70,"height":85,"fill":"#EDE9FE","stroke":"#7C3AED","stroke-width":3}},{"type":"rect","attrs":{"x":640,"y":120,"width":70,"height":85,"fill":"#EDE9FE","stroke":"#7C3AED","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":570,"y":275,"text-anchor":"middle","font-size":38,"font-weight":700,"fill":"#6D28D9","text-content":"1 = 4/4"}}]}

Oblicz: \( 4\frac{1}{5} - 2\frac{4}{5} \).

Sposób 1 (często najszybszy): zamiana na ułamki niewłaściwe:

\[ 4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}, \qquad 2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}. \]

Odejmujemy (mianownik już wspólny):

\[ \frac{21}{5} - \frac{14}{5} = \frac{21-14}{5} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}. \]

Sposób 2 (na mieszanych, z pożyczaniem): widzisz, że \( \frac{1}{5} - \frac{4}{5} \) „nie wyjdzie dodatnio”, więc pożyczasz 1 z części całkowitej 4:

\( 4 = 3 + 1 \), a ta „pożyczona” jedynka to \( \frac{5}{5} \). Czyli \( 4\frac{1}{5} = 3\frac{6}{5} \).

Wtedy:

\[ 3\frac{6}{5} - 2\frac{4}{5} = 1\frac{2}{5}. \]

Pułapka egzaminacyjna

• „Dodam mianowniki” — nie. \( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \neq \frac{a+c}{b+d} \).
• Rozszerzanie tylko mianownika — błąd. Jeśli mnożysz mianownik przez 3, licznik też przez 3.
• Za duży wspólny mianownik — można wziąć iloczyn mianowników, ale częściej szybciej i czyściej jest wziąć \( \mathrm{NWW} \).
• Brak skracania na końcu — wynik ma być w najprostszej postaci (jeśli da się skrócić).
• Odejmowanie mieszanych bez pożyczania — gdy część ułamkowa „za mała”, trzeba pożyczyć 1 całość albo przejść na ułamki niewłaściwe.

Sprawdź się (2–3 minuty)

1. \( \frac{5}{12} + \frac{1}{8} \)
2. \( \frac{7}{10} - \frac{1}{4} \)
3. \( 2\frac{1}{6} + 1\frac{5}{12} \)
4. \( 3\frac{1}{5} - 1\frac{4}{5} \)

Odpowiedzi

1. \( \frac{5}{12} + \frac{1}{8} = \frac{10}{24} + \frac{3}{24} = \frac{13}{24} \)
2. \( \frac{7}{10} - \frac{1}{4} = \frac{14}{20} - \frac{5}{20} = \frac{9}{20} \)
3. \( 2\frac{1}{6} + 1\frac{5}{12} = \frac{13}{6} + \frac{17}{12} = \frac{26}{12} + \frac{17}{12} = \frac{43}{12} = 3\frac{7}{12} \)
4. \( 3\frac{1}{5} - 1\frac{4}{5} = \frac{16}{5} - \frac{9}{5} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} \)