Mnożenie i dzielenie ułamków
Scenka: masz przepis na naleśniki dla 4 osób, a w domu jest tylko 3 osoby. Musisz przeskalować składniki. To jest właśnie świat mnożenia i dzielenia ułamków: szybkie „skalowanie” ilości.
Cel lekcji
- pomnożysz ułamek przez ułamek i przez liczbę naturalną,
- podzielisz ułamek przez ułamek (odwrotność),
- nauczysz się skracania na krzyż, żeby liczyć krócej i bez błędów.
Mnożenie ułamków
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":55,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Skracamy na krzyż przed mnożeniem"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":145,"text-anchor":"middle","font-size":48,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"4/9 · 3/8"}},{"type":"line","attrs":{"x1":350,"y1":108,"x2":470,"y2":173,"stroke":"#2563EB","stroke-width":4}},{"type":"line","attrs":{"x1":430,"y1":108,"x2":330,"y2":173,"stroke":"#7C3AED","stroke-width":4}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":250,"text-anchor":"middle","font-size":40,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"1/3 · 1/2 = 1/6"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":305,"text-anchor":"middle","font-size":25,"fill":"#475569","text-content":"skracamy tylko czynniki z różnych ułamków"}}]}
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Wynik zwykle warto skrócić. Przed mnożeniem można też skrócić na krzyż czynniki — tzn. skrócić licznik jednego ułamka z mianownikiem drugiego, jeśli mają wspólny dzielnik.
Przykładowo:
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2\cdot 3}{3\cdot 5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}. \]
Tu widać „supermoc” skracania na krzyż: wspólny czynnik 3 znika i od razu jest prościej.
Jeśli mnożymy ułamek przez liczbę naturalną, traktujemy tę liczbę jak ułamek o mianowniku 1:
\[ 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}. \]
Dzielenie ułamków
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":58,"text-anchor":"middle","font-size":29,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Odwracamy tylko drugi ułamek"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":145,"text-anchor":"middle","font-size":43,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"3/4 : 2/5"}},{"type":"line","attrs":{"x1":400,"y1":165,"x2":400,"y2":215,"stroke":"#2563EB","stroke-width":5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"385,207 415,207 400,230","fill":"#2563EB"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":285,"text-anchor":"middle","font-size":43,"font-weight":700,"fill":"#7C3AED","text-content":"3/4 · 5/2"}},{"type":"text","attrs":{"x":555,"y":225,"text-anchor":"middle","font-size":23,"font-weight":700,"fill":"#6D28D9","text-content":"2/5 → 5/2"}}]}
Dzieląc przez ułamek, mnożymy przez jego odwrotność (resiprokę):
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}, \qquad c,d \neq 0. \]
Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną też można zapisać jako mnożenie przez odwrotność tej liczby:
\[ \frac{3}{7} : 2 = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{14}. \]
Pułapka egzaminacyjna
Uwaga: odwracamy tylko przy dzieleniu. Przy mnożeniu niczego nie odwracamy – skracamy na krzyż, ale nie zamieniamy ułamka na odwrotność.
Przykład 1
Oblicz \( \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \).
Rozwiązanie:
\[ \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3\cdot 8}{4\cdot 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}. \]
Można też skrócić na krzyż przed mnożeniem: 3 z 9 przez 3, a 8 z 4 przez 4.
Przykład 2
Oblicz \( \frac{3}{4} : \frac{2}{5} \).
Rozwiązanie: dzieląc przez \( \frac{2}{5} \), mnożymy przez \( \frac{5}{2} \):
\[ \frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}. \]
Sprawdzenie: \( \frac{15}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \).
Sprawdź się (2–3 minuty)
- Oblicz: \(\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}\) (spróbuj skracania na krzyż).
- Oblicz: \(\frac{7}{12} : \frac{14}{15}\).
- Oblicz: \(3\cdot \frac{4}{9}\).
Odpowiedzi
- \(\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10} = \frac{3}{4}\).
- \(\frac{7}{12} : \frac{14}{15} = \frac{7}{12}\cdot\frac{15}{14} = \frac{5}{8}\).
- \(3\cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}\).
