Ułamek danej liczby. Liczba na podstawie jej części
Scenka: w sklepie widzisz napis „rabat \(\frac{3}{10}\) ceny”. Albo w klasie: „\(\frac{2}{5}\) uczniów pojechało na wycieczkę”. W obu sytuacjach robisz to samo: liczysz ułamek z liczby. A czasem odwrotnie: znasz część i musisz znaleźć całość.
Cel lekcji
- policzysz ułamek z liczby (mnożenie),
- znajdziesz liczbę, gdy znasz jej ułamek (dzielenie przez ułamek),
- będziesz korzystać ze sprytnej metody „najpierw \(\frac{1}{n}\), potem razy licznik”.
Ułamek danej liczby
Obliczanie ułamka danej liczby polega na pomnożeniu tej liczby przez dany ułamek:
\[ \frac{a}{b}\ \text{z liczby }x = x \cdot \frac{a}{b}. \]
Przykład: znajdź \( \frac{3}{8} \) liczby 64.
Najpierw policz \(\frac{1}{8}\) z 64: \(64:8=8\). Potem razy 3: \(8\cdot 3=24\). Zatem \( \frac{3}{8} \) z 64 to 24.
Można też bezpośrednio:
\[64 \cdot \frac{3}{8} = \frac{64 \cdot 3}{8} = \frac{192}{8} = 24.\]
Liczba na podstawie jej części
Gdy znamy wartość pewnej części (ułamka) liczby i chcemy znaleźć całą liczbę, wykonujemy działanie odwrotne: dzielimy przez ułamek (czyli mnożymy przez jego odwrotność).
Przykład: \( \frac{3}{7} \) pewnej liczby wynosi 18. Znajdź tę liczbę.
Skoro \(\frac{3}{7}\) to 18, to \(\frac{1}{7}\) jest trzy razy mniejsze: \(18:3=6\). Całość to \(7\cdot 6=42\).
Szybko rachunkowo:
\[ y = 18 : \frac{3}{7} = 18 \cdot \frac{7}{3} = 42. \]
Przykład 1
Znajdź \( \frac{5}{6} \) liczby 72.
Rozwiązanie: \(72:6=12\), \(12\cdot 5=60\). Zatem \( \frac{5}{6} \) z 72 to 60.
Przykład 2
\( \frac{4}{5} \) pewnej liczby wynosi 32. Znajdź tę liczbę.
Rozwiązanie: \(\frac{1}{5}\) to \(32:4=8\), więc całość \(= 8\cdot 5 = 40\).
Pułapka egzaminacyjna
Gdy szukasz całości, nie „mnożysz przez ułamek” – tylko dzielisz przez ułamek (czyli mnożysz przez odwrotność). To najczęstsze miejsce na błąd.
Sprawdź się (2–3 minuty)
- Oblicz \(\frac{3}{4}\) z liczby 48.
- \(\frac{2}{9}\) pewnej liczby to 14. Jaka to liczba?
- \(\frac{7}{10}\) ceny to 84 zł. Ile kosztuje całość?
Odpowiedzi
- \(48\cdot\frac{3}{4} = 36\).
- \(14 : \frac{2}{9} = 14\cdot\frac{9}{2} = 63\).
- \(84 : \frac{7}{10} = 84\cdot\frac{10}{7} = 120\).
