Ułamek danej liczby. Liczba na podstawie jej części

Scenka: w sklepie widzisz napis „rabat \(\frac{3}{10}\) ceny”. Albo w klasie: „\(\frac{2}{5}\) uczniów pojechało na wycieczkę”. W obu sytuacjach robisz to samo: liczysz ułamek z liczby. A czasem odwrotnie: znasz część i musisz znaleźć całość.

Cel lekcji

• policzysz ułamek z liczby,
• znajdziesz całość, gdy znasz tylko jej część,
• nauczysz się dwóch wygodnych pytań: „ile to jest \(\frac{1}{n}\)?” oraz „ile jest wszystkich takich części?”.

1. Ułamek z liczby

Obliczanie ułamka z liczby polega na pomnożeniu tej liczby przez dany ułamek:

\[ \frac{a}{b}\ \text{z liczby }x = x \cdot \frac{a}{b}. \]

W praktyce najczęściej najwygodniej zrobić to w dwóch krokach:

1. policz \(\frac{1}{b}\) danej liczby,
2. pomnóż wynik przez \(a\).

Przykład 1

Znajdź \(\frac{3}{8}\) liczby 64.

64 podziel na 8 równych części:
8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8

Weź 3 takie części:
8 + 8 + 8 = 24

Rachunkowo wygląda to tak:

\[ 64 : 8 = 8, \qquad 8 \cdot 3 = 24. \]

Zatem \(\frac{3}{8}\) z 64 to 24.

Można też zapisać krócej:

\[ 64 \cdot \frac{3}{8} = \frac{64\cdot 3}{8} = 24. \]

2. Liczba na podstawie jej części

Teraz odwracamy sytuację. Znasz część i chcesz odzyskać całość. Wtedy wykonujesz działanie odwrotne: dzielisz przez ułamek.

Jeśli \(\frac{3}{7}\) pewnej liczby wynosi 18, to najpierw szukasz jednej siódmej, a potem całych siedmiu takich części.

Przykład 2

\(\frac{3}{7}\) pewnej liczby wynosi 18. Znajdź tę liczbę.

Skoro 3 części = 18,
to 1 część = 18 : 3 = 6.

Całość ma 7 takich części:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42

Rachunkowo:

\[ 18 : \frac{3}{7} = 18 \cdot \frac{7}{3} = 42. \]

3. Kiedy używać której metody?

• Jeśli słyszysz: „oblicz \(\frac{a}{b}\) z liczby” – liczysz część z całości.
• Jeśli słyszysz: „\(\frac{a}{b}\) pewnej liczby wynosi ...” – szukasz całej liczby.

Szybki test myślenia

Zdanie „\(\frac{7}{10}\) ceny to 84 zł” nie pyta o część. Ono pyta o całą cenę.

Pułapka egzaminacyjna

Najczęstszy błąd jest prosty: uczeń widzi ułamek i automatycznie mnoży. Tymczasem przy szukaniu całości trzeba dzielić przez ułamek, czyli mnożyć przez jego odwrotność.

Sprawdź się (2–3 minuty)

1. Oblicz \(\frac{3}{4}\) z liczby 48.
2. \(\frac{2}{9}\) pewnej liczby to 14. Jaka to liczba?
3. \(\frac{7}{10}\) ceny to 84 zł. Ile kosztuje całość?

Odpowiedzi

1. \(48 : 4 = 12\), potem \(12\cdot 3 = 36\).
2. \(14 : \frac{2}{9} = 14\cdot\frac{9}{2} = 63\).
3. \(84 : \frac{7}{10} = 84\cdot\frac{10}{7} = 120\).

Wniosek: w zadaniach o ułamku liczby zawsze zatrzymaj się na sekundę i zadaj pytanie: szukam części czy całości? To najkrótsza droga do poprawnego działania.