Ułamki dziesiętne – zamiana z ułamków zwykłych

Scenka: na paragonie widzisz 2,75 zł, a w zadaniu w zeszycie masz \(\frac{11}{4}\). To ta sama liczba, tylko zapisana innym językiem. Umiejętność zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie bardzo pomaga w rachunkach.

Cel lekcji

• rozpoznasz miejsca po przecinku,
• zamienisz ułamek zwykły na dziesiętny przez dzielenie,
• sprawdzisz, kiedy rozwinięcie jest skończone, a kiedy okresowe,
• zamienisz ułamek dziesiętny skończony na zwykły.

1. Co oznaczają cyfry po przecinku?

Każde miejsce po przecinku ma swoją nazwę i znaczenie:

To dlatego liczba 2,75 oznacza: 2 całości i 75 setnych.

2. Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny

{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":58,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Ułamek zwykły na dziesiętny"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":170,"text-anchor":"middle","font-size":56,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"3/8"}},{"type":"line","attrs":{"x1":290,"y1":155,"x2":410,"y2":155,"stroke":"#2563EB","stroke-width":5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"410,155 387,142 387,168","fill":"#2563EB"}},{"type":"text","attrs":{"x":350,"y":125,"text-anchor":"middle","font-size":25,"font-weight":700,"fill":"#2563EB","text-content":"3 : 8"}},{"type":"text","attrs":{"x":580,"y":170,"text-anchor":"middle","font-size":56,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"0,375"}}]}

Najprostsza zasada brzmi: dziel licznik przez mianownik.

Przykład: zamień \(\frac{3}{8}\) na postać dziesiętną.

3 : 8 = 0,375

Możesz też myśleć sprytnie:

1. \(\frac{1}{8}=0,125\),
2. więc \(\frac{3}{8}=3\cdot 0,125=0,375\).

3. Kiedy rozwinięcie jest skończone?

Po skróceniu ułamka patrzysz na mianownik:

• jeśli ma tylko czynniki 2 i 5, rozwinięcie będzie skończone,
• w przeciwnym razie pojawi się rozwinięcie nieskończone okresowe.

Przykłady:

• \(\frac{7}{20}\) ma mianownik \(20=2^2\cdot 5\), więc wynik jest skończony,
• \(\frac{1}{3}=0,\overline{3}\), więc wynik jest okresowy,
• \(\frac{2}{3}=0,\overline{6}\).

Pułapka egzaminacyjna

Zawsze najpierw skróć ułamek. Na przykład \(\frac{3}{12}\) wygląda groźnie, ale po skróceniu daje \(\frac{1}{4}\), czyli wynik skończony.

4. Jak zamienić zapis dziesiętny na ułamek zwykły

{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":55,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Liczba dziesiętna na ułamek zwykły"}},{"type":"text","attrs":{"x":160,"y":180,"text-anchor":"middle","font-size":50,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"2,75"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":180,"text-anchor":"middle","font-size":50,"font-weight":700,"fill":"#2563EB","text-content":"= 275/100"}},{"type":"text","attrs":{"x":640,"y":180,"text-anchor":"middle","font-size":50,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"= 11/4"}},{"type":"line","attrs":{"x1":250,"y1":162,"x2":305,"y2":162,"stroke":"#64748B","stroke-width":4}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"305,162 284,150 284,174","fill":"#64748B"}},{"type":"line","attrs":{"x1":500,"y1":162,"x2":545,"y2":162,"stroke":"#64748B","stroke-width":4}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"545,162 524,150 524,174","fill":"#64748B"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":275,"text-anchor":"middle","font-size":25,"fill":"#475569","text-content":"dwie cyfry po przecinku → mianownik 100"}}]}

Usuwasz przecinek i wpisujesz w mianowniku odpowiednią potęgę liczby 10.

Przykład: \(0,375\)

\[ 0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}. \]

Przykład: \(2,75\)

\[ 2,75 = \frac{275}{100} = \frac{11}{4}. \]

5. Szybka mapa myślenia

ułamek zwykły  -> dzielenie -> zapis dziesiętny
zapis dziesiętny -> zapis bez przecinka / 10^n -> skracanie

Sprawdź się (2 minuty)

1. Czy \(\frac{7}{20}\) ma rozwinięcie dziesiętne skończone? Dlaczego?
2. Zamień \(\frac{5}{8}\) na ułamek dziesiętny.
3. Zamień 1,06 na ułamek zwykły i skróć.

Odpowiedzi

1. Tak. \(20=2^2\cdot 5\), więc po skróceniu mianownik ma tylko 2 i 5.
2. \(\frac{5}{8}=0,625\).
3. \(1,06=\frac{106}{100}=\frac{53}{50}\).

Wniosek: gdy przełączasz się między ułamkiem zwykłym i dziesiętnym, tak naprawdę nie zmieniasz liczby. Zmieniasz tylko sposób jej zapisania na wygodniejszy do danego zadania.