Ułamki dziesiętne – zamiana z ułamków zwykłych

Scenka: na paragonie widzisz 2,75 zł, a w zadaniu w zeszycie masz \(\frac{11}{4}\). To ta sama liczba, tylko zapisana innym „językiem”. Umiejętność zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne (i odwrotnie) bardzo pomaga w rachunkach.

Cel lekcji

• rozpoznasz, co oznaczają miejsca po przecinku (dziesiąte, setne, tysięczne...),
• zamienisz ułamek zwykły na dziesiętny przez dzielenie,
• zrozumiesz, kiedy rozwinięcie jest skończone, a kiedy okresowe,
• zamienisz ułamek dziesiętny skończony na zwykły.

Ułamki dziesiętne

Ułamki dziesiętne to ułamki zapisane w systemie dziesiętnym, z przecinkiem dziesiętnym. Na przykład: 0,5; 2,75; 10,0; 3,1415... W takim zapisie część całkowita jest oddzielona od części ułamkowej przecinkiem. Każda kolejna cyfra po przecinku oznacza odpowiednio: części dziesiąte, setne, tysięczne itd.

Ułamki zwykłe zamieniamy na dziesiętne, wykonując dzielenie licznika przez mianownik. Czasem otrzymamy wynik skończony, a czasem nieskończony okresowy. Zależy to od mianownika ułamka po skróceniu.

Kiedy wynik jest skończony?

Jeśli mianownik (po skróceniu) ma tylko czynniki 2 i 5, rozwinięcie dziesiętne będzie skończone (bo \(10 = 2\cdot 5\)). Np. \( \frac{3}{8} \) ma mianownik \(8 = 2^3\), więc da skończone rozwinięcie.

W przeciwnym razie rozwinięcie jest nieskończone okresowe. Np. \( \frac{1}{3} = 0,\overline{3}\), \( \frac{2}{3} = 0,\overline{6}\).

Pułapka egzaminacyjna

Zawsze skrót ułamek przed oceną, czy rozwinięcie będzie skończone. Np. \(\frac{3}{12}\) wygląda jak „12”, ale po skróceniu to \(\frac{1}{4}\) i rozwinięcie jest skończone.

Dziesiętne skończone → zwykłe

Ułamki dziesiętne skończone można łatwo zamienić na ułamki zwykłe: zapisujesz je jako \(\frac{\text{liczba bez przecinka}}{10^n}\) i skracasz. Np. \(0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\), \(2,75 = \frac{275}{100} = \frac{11}{4}\).

Ułamki dziesiętne nieskończone okresowe są także ułamkami zwykłymi, ale ich zamiana wymaga osobnej metody. Warto znać przykłady: \(0,\overline{3} = \frac{1}{3}\), \(0,\overline{6} = \frac{2}{3}\), \(0,\overline{1} = \frac{1}{9}\), \(0,\overline{9} = 1\).

Przykład 1

Zamień ułamek \( \frac{3}{8} \) na postać dziesiętną.

Rozwiązanie: dzielimy 3 przez 8:

   0,375
8 | 3,000
    2,4
    ---
      600
      560
      ---
       40
       40
      ---
        0

Otrzymaliśmy 0,375. Można to też przewidzieć: \( \frac{3}{8} \) to połowa z \( \frac{3}{4} \), a \( \frac{3}{4} = 0,75 \), więc połowa z 0,75 to 0,375.

Przykład 2

Zamień \(0,375\) na ułamek zwykły.

Rozwiązanie: \(0,375 = \frac{375}{1000}\). Skracamy przez 125 i otrzymujemy \(\frac{3}{8}\).

Sprawdź się (2 minuty)

1. Czy \(\frac{7}{20}\) ma rozwinięcie dziesiętne skończone? Dlaczego?
2. Zamień \(\frac{5}{8}\) na ułamek dziesiętny.
3. Zamień 1,06 na ułamek zwykły i skróć.

Odpowiedzi

1. Tak. \(20=2^2\cdot 5\), więc tylko 2 i 5.
2. \(\frac{5}{8}=0,625\).
3. \(1,06=\frac{106}{100}=\frac{53}{50}\).