Rozwinięcia dziesiętne nieskończone. Zaokrąglanie

Scenka: mierzysz czas biegu i widzisz na stoperze 12,6666... sekund. Nie zapisujesz przecież nieskończonej liczby cyfr – musisz ją zaokrąglić. A skąd w ogóle biorą się takie zapisy jak \(0,\overline{36}\)? To właśnie ułamki dziesiętne okresowe.

Cel lekcji

• rozpoznasz ułamki dziesiętne okresowe,
• zrozumiesz zapis z okresem (kreską),
• zaokrąglisz liczby dziesiętne do wskazanego miejsca.

Ułamki dziesiętne okresowe

Ułamki dziesiętne nieskończone okresowe mają powtarzający się fragment (okres) w zapisie. Zwykle oznaczamy go nad kreską. Przykłady:

• \( \frac{1}{3} = 0,3333\ldots = 0,\overline{3} \)
• \( \frac{4}{11} = 0,363636\ldots = 0,\overline{36} \)
• \( \frac{1}{6} = 0,16666\ldots = 0,1\overline{6} \)

Jeśli rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone nieokresowe (np. \( \pi = 3,1415926\ldots \)), to liczba nie jest wymierna (ten temat zwykle pojawia się później).

Pułapka (warto wiedzieć)

\(0,\overline{9} = 1\). To nie „prawie 1”, tylko dokładnie 1 – dlatego czasem zaokrąglanie daje wynik równy 1.

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych

Ucinamy zapis na żądanym miejscu i patrzymy na następną cyfrę:

• jeśli następna cyfra < 5, to nie zmieniamy ostatniej pozostawionej cyfry,
• jeśli następna cyfra ≥ 5, to zwiększamy o 1 ostatnią pozostawioną cyfrę.

Czasem dopisujemy zera, by zaznaczyć, do ilu miejsc zaokrągliliśmy (np. \(5,3\) jako \(5,300\), jeśli potrzebujesz trzech miejsc po przecinku).

Przykłady

Przykład 1: Zaokrąglij 5,378 do pierwszego miejsca po przecinku.

Rozwiązanie: patrzymy na drugą cyfrę po przecinku (7). Ponieważ \(7 \ge 5\), podnosimy 3 do 4. Wynik: \(5,4\).

Przykład 2: Zaokrąglij \( \frac{2}{3} \) do dwóch miejsc po przecinku.

Rozwiązanie: \( \frac{2}{3} = 0,\overline{6} = 0,6666\ldots \). Do dwóch miejsc po przecinku patrzymy na trzecią cyfrę (6), więc \(0,66\) podnosimy do \(0,67\).

Sprawdź się (2 minuty)

1. Zaokrąglij 12,0449 do dwóch miejsc po przecinku.
2. Zaokrąglij \(0,1\overline{6}\) do dwóch miejsc po przecinku.
3. Które jest większe: \(0,\overline{3}\) czy \(0,\overline{36}\)? (pomyśl o \(\frac{1}{3}\) i \(\frac{4}{11}\)).

Odpowiedzi

1. 12,04 (bo kolejna cyfra to 4).
2. 0,17 (bo 0,1666... zaokrąglone do setnych daje 0,17).
3. \(0,\overline{36}\approx 0,3636...\) jest większe niż \(0,\overline{3}=0,333...\).