Liczby • lekcja 10 z 15

Rozwinięcia dziesiętne nieskończone. Zaokrąglanie

Jedna trzecia jest liczbą dokładną, choć jej zapis dziesiętny nie ma końca. Trzeba odróżnić zapis powtarzających się cyfr od przybliżenia, które świadomie zatrzymujemy na określonym miejscu.

Na początek: Rozumiesz ułamek jako dzielenie, znasz miejsca po przecinku i znak przybliżenia ≈. Zaokrąglenia w tej lekcji dotyczą liczb nieujemnych.

Powtarzająca się reszta daje powtarzające się cyfry

Dzieląc 1 przez 3, otrzymujemy 0 całości i resztę 1. Zamieniamy ją na 10 dziesiątych: 10 : 3 daje cyfrę 3 i resztę 1. Na kolejnym miejscu sytuacja się powtarza. Dlatego cyfry 3 będą pojawiać się bez końca.

Odczytaj 0,1(6) i zapisz 2/3

1. 0,1(6) = 0,16666…: po przecinku najpierw jest pojedyncza cyfra 1, potem powtarza się 6. To nie to samo co 0,(16).
2. Przy dzieleniu 2 : 3 mamy 20 : 3 = 6 reszty 2, a następnie sytuacja powraca. Dlatego 23 = 0,(6).

Każda liczba wymierna, czyli możliwa do zapisania jako iloraz dwóch liczb całkowitych z niezerowym mianownikiem, ma rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe. Powód: możliwych reszt dzielenia przez dany mianownik jest skończenie wiele. Albo pojawi się reszta 0, albo wcześniejsza reszta się powtórzy.

Dokładność wybierasz przed zaokrągleniem

{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":28,"text-content":"Zaokrąglenie do setnych","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":23,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":70,"y":110,"text-content":"12,","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":34,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":145,"y":110,"text-content":"0","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":34,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":182,"y":72,"width":48,"height":53,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":206,"y":110,"text-content":"4","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":34,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":245,"y":72,"width":48,"height":53,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":269,"y":110,"text-content":"9","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":34,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":160,"text-content":"4: setne — zachowujemy miejsce","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":192,"text-content":"9: tysięczne — decydują o zmianie","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":246,"text-content":"12,049 ≈ 12,05","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":28,"fill":"#13233F"}}]}

Zaokrągl 12,049 do setnych

1. Setne są na drugim miejscu po przecinku: to cyfra 4. Pierwsza odrzucana cyfra, na miejscu tysięcznych, wynosi 9.
2. Ponieważ 9 ≥ 5, zwiększamy setne o 1. Otrzymujemy 12,05.
3. Zapisujemy 12,049 ≈ 12,05. Nie używamy znaku równości, bo wartości się różnią.

Gdy trzeba przenieść jedynkę

1. 0,995 do setnych: pierwsza odrzucana cyfra to 5. Zwiększenie 99 setnych o jedną setną daje 100 setnych.
2. Wynik zapisujemy 1,00, aby wskazać zaokrąglenie do setnych. Wartościowo 1,00 = 1.

Nie zaokrąglaj po drodze

Dla 2,449 zaokrąglanego do dziesiątych decyduje cyfra setnych 4. Wynik to 2,4. Gdyby najpierw zaokrąglić do setnych, powstałoby 2,45, a potem 2,5 — błędny wynik dla pierwotnej liczby. Czytaj potrzebną cyfrę w oryginalnym zapisie.

Czy 0,(9) jest odrobinę mniejsze od 1?

Nie. To dokładnie ta sama liczba. Jeśli x = 0,(9), to 10x = 9,(9). Po odjęciu x otrzymujemy 9x = 9, więc x = 1. Nieskończony ciąg dziewiątek nie ma ostatniej cyfry, za którą można byłoby dopisać brakujący kawałek. Skończone 0,999 jest natomiast mniejsze od 1.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Najważniejsze zależności

Nawias okresu oznacza nieskończone powtarzanie, nie niepewność. Zaokrąglaj z oryginalnego zapisu i patrz na pierwszą odrzucaną cyfrę. Równość odróżniaj od przybliżenia.