Rozwinięcia dziesiętne nieskończone. Zaokrąglanie
Scenka: mierzysz czas biegu i widzisz na stoperze 12,6666... sekund. Nie zapisujesz przecież nieskończonej liczby cyfr – musisz ją zaokrąglić. A skąd w ogóle biorą się takie zapisy jak \(0,\overline{36}\)? To właśnie ułamki dziesiętne okresowe.
Cel lekcji
- rozpoznasz ułamki dziesiętne okresowe,
- zrozumiesz zapis z okresem (kreską),
- zaokrąglisz liczby dziesiętne do wskazanego miejsca.
Ułamki dziesiętne okresowe
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":55,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Nawias oznacza okres"}},{"type":"text","attrs":{"x":240,"y":155,"text-anchor":"middle","font-size":44,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"1/3 = 0,"}},{"type":"rect","attrs":{"x":327,"y":112,"width":55,"height":56,"rx":10,"fill":"#FEF3C7"}},{"type":"text","attrs":{"x":355,"y":155,"text-anchor":"middle","font-size":44,"font-weight":700,"fill":"#B45309","text-content":"(3)"}},{"type":"text","attrs":{"x":230,"y":260,"text-anchor":"middle","font-size":44,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"4/11 = 0,"}},{"type":"rect","attrs":{"x":338,"y":217,"width":80,"height":56,"rx":10,"fill":"#EDE9FE"}},{"type":"text","attrs":{"x":378,"y":260,"text-anchor":"middle","font-size":44,"font-weight":700,"fill":"#6D28D9","text-content":"(36)"}},{"type":"text","attrs":{"x":580,"y":208,"text-anchor":"middle","font-size":28,"fill":"#475569","text-content":"powtarzający się fragment"}}]}
Ułamki dziesiętne nieskończone okresowe mają powtarzający się fragment (okres) w zapisie. Zwykle oznaczamy go nad kreską. Przykłady:
- \( \frac{1}{3} = 0,3333\ldots = 0,\overline{3} \)
- \( \frac{4}{11} = 0,363636\ldots = 0,\overline{36} \)
- \( \frac{1}{6} = 0,16666\ldots = 0,1\overline{6} \)
Jeśli rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone nieokresowe (np. \( \pi = 3,1415926\ldots \)), to liczba nie jest wymierna (ten temat zwykle pojawia się później).
Pułapka (warto wiedzieć)
\(0,\overline{9} = 1\). To nie „prawie 1”, tylko dokładnie 1 – dlatego czasem zaokrąglanie daje wynik równy 1.
Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":55,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Zaokrąglamy do jednego miejsca po przecinku"}},{"type":"text","attrs":{"x":275,"y":160,"text-anchor":"middle","font-size":58,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"5,3"}},{"type":"rect","attrs":{"x":318,"y":108,"width":55,"height":68,"rx":10,"fill":"#FEF3C7","stroke":"#D97706","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":346,"y":160,"text-anchor":"middle","font-size":58,"font-weight":700,"fill":"#B45309","text-content":"7"}},{"type":"text","attrs":{"x":395,"y":160,"text-anchor":"middle","font-size":58,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"8"}},{"type":"line","attrs":{"x1":445,"y1":145,"x2":530,"y2":145,"stroke":"#2563EB","stroke-width":5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"530,145 507,132 507,158","fill":"#2563EB"}},{"type":"text","attrs":{"x":630,"y":160,"text-anchor":"middle","font-size":58,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"5,4"}},{"type":"text","attrs":{"x":346,"y":225,"text-anchor":"middle","font-size":23,"font-weight":700,"fill":"#B45309","text-content":"7 ≥ 5"}}]}
Ucinamy zapis na żądanym miejscu i patrzymy na następną cyfrę:
- jeśli następna cyfra < 5, to nie zmieniamy ostatniej pozostawionej cyfry,
- jeśli następna cyfra ≥ 5, to zwiększamy o 1 ostatnią pozostawioną cyfrę.
Czasem dopisujemy zera, by zaznaczyć, do ilu miejsc zaokrągliliśmy (np. \(5,3\) jako \(5,300\), jeśli potrzebujesz trzech miejsc po przecinku).
Przykłady
Przykład 1: Zaokrąglij 5,378 do pierwszego miejsca po przecinku.
Rozwiązanie: patrzymy na drugą cyfrę po przecinku (7). Ponieważ \(7 \ge 5\), podnosimy 3 do 4. Wynik: \(5,4\).
Przykład 2: Zaokrąglij \( \frac{2}{3} \) do dwóch miejsc po przecinku.
Rozwiązanie: \( \frac{2}{3} = 0,\overline{6} = 0,6666\ldots \). Do dwóch miejsc po przecinku patrzymy na trzecią cyfrę (6), więc \(0,66\) podnosimy do \(0,67\).
Sprawdź się (2 minuty)
- Zaokrąglij 12,0449 do dwóch miejsc po przecinku.
- Zaokrąglij \(0,1\overline{6}\) do dwóch miejsc po przecinku.
- Które jest większe: \(0,\overline{3}\) czy \(0,\overline{36}\)? (pomyśl o \(\frac{1}{3}\) i \(\frac{4}{11}\)).
Odpowiedzi
- 12,04 (bo kolejna cyfra to 4).
- 0,17 (bo 0,1666... zaokrąglone do setnych daje 0,17).
- \(0,\overline{36}\approx 0,3636...\) jest większe niż \(0,\overline{3}=0,333...\).
