Liczby • lekcja 11 z 15
Liczby ujemne – porządek i działania
Temperatura −5°C jest niższa od −2°C, chociaż 5 jest większe od 2. Przy liczbach ujemnych same cyfry nie wystarczają. Oś liczbowa pozwala uporządkować liczby i nadaje sens działaniom.
Po tej lekcji: porównasz liczby ze znakiem, obliczysz wartość bezwzględną oraz wykonasz cztery działania na liczbach ujemnych.Na początek: Znasz kolejność działań i rachunki na liczbach dodatnich. Znak minus może oznaczać odejmowanie albo należeć do zapisu liczby.
Większa liczba leży bardziej na prawo
Na osi liczbowej zaznaczamy zero i przyjmujemy stałą długość jednostki. Po prawej leżą liczby dodatnie, po lewej ujemne. Przesunięcie o jedną jednostkę w prawo zawsze zwiększa liczbę o 1, również po ujemnej stronie osi.
{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":28,"text-content":"−5 < −2 < 0 < 2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":26,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":30,"y1":110,"x2":370,"y2":110,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":35,"y1":103,"x2":35,"y2":117,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":35,"y":145,"text-content":"−5","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":19,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":81,"y1":103,"x2":81,"y2":117,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":81,"y":145,"text-content":"−4","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":19,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":127,"y1":103,"x2":127,"y2":117,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":127,"y":145,"text-content":"−3","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":19,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":173,"y1":103,"x2":173,"y2":117,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":173,"y":145,"text-content":"−2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":19,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":219,"y1":103,"x2":219,"y2":117,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":219,"y":145,"text-content":"−1","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":19,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":265,"y1":103,"x2":265,"y2":117,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":265,"y":145,"text-content":"0","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":19,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":311,"y1":103,"x2":311,"y2":117,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":311,"y":145,"text-content":"1","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":19,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":357,"y1":103,"x2":357,"y2":117,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":357,"y":145,"text-content":"2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":19,"fill":"#13233F"}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"370,110 359,104 359,116","fill":"#13233F"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":35,"cy":110,"r":5,"fill":"#1769D3"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":173,"cy":110,"r":5,"fill":"#1769D3"}},{"type":"line","attrs":{"x1":35,"y1":75,"x2":173,"y2":75,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"173,75 163,69 163,81","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":104,"y":62,"text-content":"+3","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":23,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":197,"text-content":"Od −5 do −2: trzy jednostki w prawo","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}}]}
Porządek i odległość
- −5 leży na lewo od −2, zatem −5 < −2. Jednak |−5| = 5 > 2 = |−2|.
- Temperatura wzrosła z −5°C do −2°C o 3°C. Wzrost nie jest równy różnicy samych znaków; odliczamy trzy jednostki w prawo.
Dodawanie łączy zmiany
Dodawanie liczby dodatniej to ruch w prawo, a dodawanie ujemnej — w lewo. Dla dwóch liczb o jednakowych znakach dodaj wartości bezwzględne i zachowaj znak. Przy różnych znakach odejmij mniejszą wartość bezwzględną od większej, a znak weź od liczby o większej wartości bezwzględnej.
Dwa sposoby odczytania sumy
- −7 + 12: od −7 przejdź 7 jednostek do zera i jeszcze 5 w prawo. Wynik to 5.
- −7 + (−12): oba ruchy są w lewo. Łącznie 19 jednostek w lewo od zera, czyli −19.
Odejmowanie odwraca zmianę
Oblicz −2 − (−5)
- Liczba przeciwna do −5 to 5, więc −2 − (−5) = −2 + 5.
- Przejdź od −2 pięć jednostek w prawo: wynik to 3.
- Kontrola: 3 + (−5) = −2. Suma różnicy i odjemnika odtwarza odjemną.
Znaki przy mnożeniu i dzieleniu
Dlaczego minus razy minus daje plus? Iloczyny (−3) · 2, (−3) · 1, (−3) · 0 wynoszą −6, −3, 0. Każde zmniejszenie drugiego czynnika o 1 zwiększa wynik o 3. Następny krok daje (−3) · (−1) = 3, zgodnie z rozdzielnością mnożenia.
Połącz znaki z kolejnością działań
- Oblicz 4 − (−3) · 2. Najpierw mnożenie: (−3) · 2 = −6.
- Teraz 4 − (−6) = 4 + 6 = 10. Nie wolno najpierw obliczyć 4 − (−3), bo w tym miejscu nie ma nawiasu.
- Dla (−18) : (−6) wynik to 3. Sprawdzenie: 3 · (−6) = −18.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Przejdź po osi od lewej do prawej.
Rozwiązanie i kontrola
−5 < −2 < 0 < 3.
Zadanie 2
Wskazówka
Odległość i przeciwność to inne pojęcia, choć tutaj wyniki się zgadzają.
Rozwiązanie i kontrola
|−8| = 8; liczba przeciwna to 8. Dla liczby 8 wartość bezwzględna nadal wynosi 8, ale przeciwna to −8.
Zadanie 3
Wskazówka
Działania są równorzędne.
Rozwiązanie i kontrola
−2 + 5 = 3, a 3 − 7 = −4.
Zadanie 4
Wskazówka
Zamień odejmowanie na dodanie liczby przeciwnej.
Rozwiązanie i kontrola
−6 + 9 = 3. Kontrola: 3 + (−9) = −6.
Zadanie 5
Wskazówka
Najpierw iloraz i iloczyn.
Rozwiązanie i kontrola
−4 + 10 = 6. Iloraz ma różne znaki liczb, iloczyn jednakowe.
Zadanie 6
Wskazówka
Spadek oznacza ruch w lewo.
Rozwiązanie i kontrola
−4 − 7 = −11°C. Spadek nie oznacza odjęcia liczby −7.
Najważniejsze zależności
Porządek odczytuj z osi. Wartość bezwzględna to nieujemna odległość. Odejmowanie zamieniaj na dodanie liczby przeciwnej; reguły znaków dobieraj do rodzaju działania.
