Liczby ujemne – porządek i działania

Scenka: termometr pokazuje \(-4^\circ\text{C}\), a winda zjeżdża na poziom \(-2\). To wciąż „zwykłe” liczby – tylko zapisujemy je po lewej stronie zera na osi liczbowej. Klucz to zrozumieć porządek i proste reguły znaków.

Cel lekcji

• uporządkujesz liczby ujemne na osi,
• dodasz i odejmiesz liczby całkowite, używając obrazu „ruchu po osi”,
• zastosujesz regułę znaków w mnożeniu i dzieleniu.

Porządek liczb ujemnych

Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Na osi liczbowej leżą na lewo od 0. Im liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną (czyli „dalej od zera”), tym jest mniejsza jako całość. Np. \( -5 < -2 \), bo \( -5 \) leży dalej na lewo.

Dodawanie i odejmowanie jako ruch po osi

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych (w tym ujemnych) można rozumieć jako poruszanie się na osi liczbowej:

• Dodawanie liczby dodatniej to ruch w prawo (np. \( -3 + 5 = 2 \)).
• Dodawanie liczby ujemnej to ruch w lewo (np. \( 4 + (-7) = -3 \)).
• Odejmowanie liczby ujemnej \(a - (-b)\) jest równoważne dodaniu liczby dodatniej \(a + b\) („dwa minusy dają plus”), np. \( 5 - (-2) = 7 \).

Mnożenie i dzielenie – reguła znaków

Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych rządzi się prostą regułą:

• Te same znaki → wynik dodatni: \((-)\cdot(-)=+\), \((+)\cdot(+) = +\).
• Różne znaki → wynik ujemny: \((-)\cdot(+)=-\), \((+)\cdot(-) = -\).

To samo dotyczy dzielenia. Przykładowo, \( -8 : -2 = 4 \), \( -8 : 2 = -4 \). Pamiętaj też o kolejności działań (mnożenie/dzielenie przed dodawaniem/odejmowaniem).

Przykład 1

Oblicz \( -2 + 5 - 7 \).

Rozwiązanie: \( -2 + 5 = 3 \), \( 3 - 7 = -4 \). Wynik: \( -4 \).

(Interpretacja: startujesz na \(-2\), idziesz 5 w prawo do 3, potem 7 w lewo do \(-4\).)

Przykład 2

Oblicz \( 4 - (-3) \cdot 2 \).

Rozwiązanie: najpierw mnożenie: \( (-3)\cdot 2 = -6 \). Potem \(4 - (-6) = 4 + 6 = 10\).

Przykład 3 (reguła znaków w praktyce)

• \((-4)\cdot 3 = -12\)
• \((-4)\cdot (-3) = 12\)
• \((-12):3 = -4\)
• \((-12):(-3) = 4\)

Pułapka egzaminacyjna

Najczęściej mylą się dwa miejsca: (1) odejmowanie liczby ujemnej (zamień na plus), (2) kolejność działań w wyrażeniu.

Sprawdź się (2 minuty)

1. Uporządkuj rosnąco: \(-1\), \(-10\), \(-3\), 0, 2.
2. Oblicz: \(-7 + 12\).
3. Oblicz: \(6 - (-5)\).
4. Oblicz: \((-4)\cdot (-2) - 3\).

Odpowiedzi

1. \(-10 < -3 < -1 < 0 < 2\).
2. 5.
3. 11.
4. \(8 - 3 = 5\).