Liczby • lekcja 12 z 15

Potęgi i działania na potęgach

Zamiast pięć razy pisać czynnik 2, zapisujemy 2⁵. Potęga skraca mnożenie, a nie dodawanie. Gdy zobaczysz ukryte czynniki, reguły działań na potęgach przestaną być listą do zapamiętania.

Na początek: Rozumiesz mnożenie, dzielenie i liczby ujemne. Wykładniki w tej lekcji są naturalne; wykładnik zero omawiamy osobno.

Podstawa i liczba powtórzeń

2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Wyrażenie 2 · 5 ma wartość 10, więc nie zastępuje potęgi. Określenia „kwadrat liczby” i „sześcian liczby” oznaczają odpowiednio drugą i trzecią potęgę.

Łączenie czynników tej samej podstawy

{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":30,"text-content":"2³ · 2²","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":30,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":25,"y":60,"width":205,"height":58,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":245,"y":60,"width":130,"height":58,"fill":"#fff4bf","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":127,"y":99,"text-content":"2 · 2 · 2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":29,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":310,"y":99,"text-content":"2 · 2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":29,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":237,"y":99,"text-content":"·","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":20,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":162,"text-content":"3 czynniki + 2 czynniki","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":22,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":215,"text-content":"2⁵ = 32","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":30,"fill":"#13233F"}}]}

Skąd dodawanie wykładników?

1. 2³ · 2² = (2 · 2 · 2) · (2 · 2). Łącznie jest pięć czynników 2.
2. Zatem 2³ · 2² = 2⁵ = 32. Ogólnie a^m · aⁿ = a^m+n. Podstawa musi być ta sama.

Dzielenie usuwa wspólne czynniki

1. 3⁵ : 3² = (3 · 3 · 3 · 3 · 3) : (3 · 3). Dwa czynniki z licznika skracają się z dwoma z mianownika.
2. Zostają trzy czynniki: 3³ = 27. Dla a ≠ 0 i m ≥ n: a^m : aⁿ = a^m−n. Nie dzielimy podstaw ani wykładników.

Potęga potęgi oraz wspólny wykładnik

(2³)⁴ to cztery grupy, po trzy dwójki w każdej. Wszystkich czynników jest 3 · 4 = 12. Stąd (a^m)ⁿ = a^m·n. Inna sytuacja to 2³ · 5³: trzy pary 2 · 5 dają (2 · 5)³ = 10³.

Zastosuj reguły do różnych zapisów

1. (5²)³ = 5⁶, ponieważ są trzy grupy po dwa czynniki 5.
2. 3² · 5² = (3 · 5)² = 15² = 225. Tutaj wspólny jest wykładnik, nie podstawa.
3. Podobnie 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³ = 27. Reguła ilorazu przy wspólnym wykładniku wymaga niezerowego dzielnika.

Zero w wykładniku nie zeruje wyniku

Na przykład 7³ : 7³ = 7⁰ = 1. Nie myl 7⁰ z 0⁷: drugie wyrażenie jest iloczynem siedmiu zer i wynosi 0. Reguły dotyczące wykładnika zero stosuj tylko tam, gdzie nie powstaje 0⁰.

Co dokładnie podnosisz do potęgi?

Porównaj (−2)⁴ i −2⁴

1. (−2)⁴ = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16. Podstawą jest cała liczba −2.
2. −2⁴ = −(2⁴) = −16. Minus stoi przed potęgą i nie jest jej podstawą.
3. Parzysta liczba ujemnych czynników daje wynik dodatni, nieparzysta ujemny: (−3)³ = −27.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Najważniejsze zależności

Ta sama podstawa: przy mnożeniu dodaj wykładniki, przy dzieleniu odejmij. Potęga potęgi: pomnóż wykładniki. Sprawdzaj nawiasy, niezerowy dzielnik i warunki wykładnika zero.