Potęgi i działania na potęgach
Scenka: masz bakterie, które co godzinę się podwajają. Po 1 godzinie masz 2, po 2 godzinach 4, po 3 godzinach 8… To nie jest „magia”, tylko potęgi: \(2^n\) opisuje szybkie mnożenie tej samej liczby wiele razy.
Cel lekcji
- zrozumiesz, czym jest potęga \(a^n\),
- zastosujesz własności potęg w mnożeniu i dzieleniu,
- unikniesz typowych pułapek (np. \((a^m)^n\)).
Potęga
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":60,"text-anchor":"middle","font-size":32,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Wykładnik mówi, ile razy mnożymy podstawę"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":165,"text-anchor":"middle","font-size":52,"font-weight":700,"fill":"#2563EB","text-content":"2³ = 2 · 2 · 2"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":270,"text-anchor":"middle","font-size":58,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"= 8"}}]}
Potęga to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia przez tę samą liczbę. Wyrażenie \(a^n\) oznacza iloczyn \(n\) czynników \(a\cdot a\cdot \dots \cdot a\) (n razy). Liczbę \(a\) nazywamy podstawą, a \(n\) – wykładnikiem.
Przykłady: \(2^3 = 8\); \(5^1 = 5\); \(7^0 = 1\) (każda niezerowa liczba do potęgi zerowej daje 1).
Potęgowanie ma pierwszeństwo przed mnożeniem i dodawaniem. Potęgi o tych samych podstawach można łatwo mnożyć i dzielić:
\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\] (np. \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\)),
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":58,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Ta sama podstawa: dodajemy wykładniki"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":150,"text-anchor":"middle","font-size":52,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"2³ · 2⁴"}},{"type":"line","attrs":{"x1":400,"y1":170,"x2":400,"y2":215,"stroke":"#2563EB","stroke-width":5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"385,207 415,207 400,230","fill":"#2563EB"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":290,"text-anchor":"middle","font-size":52,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"2³⁺⁴ = 2⁷"}}]}
\[a^m : a^n = a^{m-n}\] (np. \(10^5 : 10^2 = 10^3\)).
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":58,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Ta sama podstawa: odejmujemy wykładniki"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":150,"text-anchor":"middle","font-size":52,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"10⁵ : 10²"}},{"type":"line","attrs":{"x1":400,"y1":170,"x2":400,"y2":215,"stroke":"#2563EB","stroke-width":5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"385,207 415,207 400,230","fill":"#2563EB"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":290,"text-anchor":"middle","font-size":52,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"10⁵⁻² = 10³"}}]}
Potęga potęgi:
\[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\] (np. \((3^2)^3 = 3^6\)).
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":52,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Potęga potęgi: mnożymy wykładniki"}},{"type":"rect","attrs":{"x":130,"y":105,"width":160,"height":60,"rx":12,"fill":"#DBEAFE"}},{"type":"rect","attrs":{"x":320,"y":105,"width":160,"height":60,"rx":12,"fill":"#DBEAFE"}},{"type":"rect","attrs":{"x":510,"y":105,"width":160,"height":60,"rx":12,"fill":"#DBEAFE"}},{"type":"text","attrs":{"x":210,"y":145,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"3 · 3"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":145,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"3 · 3"}},{"type":"text","attrs":{"x":590,"y":145,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"3 · 3"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":245,"text-anchor":"middle","font-size":42,"font-weight":700,"fill":"#7C3AED","text-content":"(3²)³ = 3²·³"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":310,"text-anchor":"middle","font-size":48,"font-weight":700,"fill":"#16A34A","text-content":"= 3⁶"}}]}
Gdy różne podstawy mają ten sam wykładnik:
\[a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\] (np. \(2^3 \cdot 3^3 = 6^3\)),
\[a^n : b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n\] (np. \(8^2 : 2^2 = 4^2\)).
Uwaga: \(0^n = 0\) dla \(n>0\), ale \(0^0\) jest nieokreślone.
Pułapka egzaminacyjna
Nie myl: \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\) (mnożysz wykładniki) oraz \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) (dodajesz wykładniki). To dwie różne sytuacje.
Przykład 1
Zapisz jako potęgę i oblicz:
- \(7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7\)
- \(2 \cdot 2 \cdot 2\)
Rozwiązanie:
\[7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^4 = 2401\]
\[2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8\]
Przykład 2
Uprość lub oblicz, wykorzystując własności potęg:
\[4^2 \cdot 4^5 = 4^{7}\]
\[5^6 : 5^2 = 5^{4}\]
\[(2^3)^4 = 2^{12} = 4096\]
\[3^2 \cdot 5^2 = (15)^2 = 225\]
Sprawdź się (2–3 minuty)
- Uprość: \(2^5\cdot 2^3\).
- Uprość: \(10^6 : 10^2\).
- Oblicz: \((3^2)^4\).
- Uprość: \(4^3\cdot 5^3\) (bez mnożenia 64 i 125 osobno).
Odpowiedzi
- \(2^{8}\).
- \(10^{4}\).
- \(3^{8} = 6561\).
- \((4\cdot 5)^3 = 20^3 = 8000\).
