Ułamki zwykłe – wprowadzenie i porównywanie

Preview Mode

You're viewing this material in preview mode. Sign up to track your progress and access all features.

Sign Up Free Login
Ułamki zwykłe – wprowadzenie i porównywanie
In Progress

Liczby • lekcja 5 z 15

Ułamki zwykłe – wprowadzenie i porównywanie

Trzy z czterech równych kawałków to trzy czwarte całości. Ten sam ułamek możesz zaznaczyć na osi, rozszerzyć lub zapisać innymi cyframi — jego wartość nie musi się zmienić.

Po tej lekcji: odczytasz znaczenie ułamka, zamienisz liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy i odwrotnie, skrócisz ułamek oraz porównasz dodatnie ułamki.

Na początek: Dzielisz na równe części i znasz mnożenie. W tej lekcji liczniki są nieujemne, a mianowniki dodatnie.

Dwie liczby w zapisie, jedna wartość

W ułamku 34 licznik 3 podaje liczbę wybranych części, a mianownik 4 — liczbę równych części jednej całości. Kreska ułamkowa oznacza także dzielenie: 34 = 3 : 4. Mianownik nie może być zerem. 
{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":30,"text-content":"3/4","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":23,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":42,"width":85,"height":42,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":115,"y":42,"width":85,"height":42,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":200,"y":42,"width":85,"height":42,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":285,"y":42,"width":85,"height":42,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":128,"text-content":"6/8","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":23,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":140,"width":42.5,"height":42,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":72.5,"y":140,"width":42.5,"height":42,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":115,"y":140,"width":42.5,"height":42,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":157.5,"y":140,"width":42.5,"height":42,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":200,"y":140,"width":42.5,"height":42,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":242.5,"y":140,"width":42.5,"height":42,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":285,"y":140,"width":42.5,"height":42,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"rect","attrs":{"x":327.5,"y":140,"width":42.5,"height":42,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":30,"y1":230,"x2":370,"y2":230,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":30,"y1":224,"x2":30,"y2":236,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":30,"y":260,"text-content":"0","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":115,"y1":224,"x2":115,"y2":236,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":115,"y":260,"text-content":"1/4","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":200,"y1":224,"x2":200,"y2":236,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":260,"text-content":"1/2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":285,"y1":224,"x2":285,"y2":236,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":285,"y":260,"text-content":"3/4","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":370,"y1":224,"x2":370,"y2":236,"stroke":"#13233F","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":370,"y":260,"text-content":"1","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":285,"cy":230,"r":6,"fill":"#1769D3"}}]}
3/4 i 6/8 mają tę samą wartość: wybrane części zajmują taką samą długość jednakowych pasków. Punkt na osi leży w trzech czwartych jednostki.

Na osi odcinek od 0 do 1 jest jednostką. Dzielimy go na cztery równe odcinki, a następnie od zera odliczamy trzy. Ułamek jest liczbą, więc ma jedno położenie na osi. Porównywanie części różnych przedmiotów wymaga ostrożności: połowa dużej pizzy może być większa niż trzy czwarte małej. W modelu ułamków porównujemy tę samą całość.

Gdy części jest więcej niż w jednej całości

Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika; jego wartość jest mniejsza od 1. Ułamek niewłaściwy ma licznik nie mniejszy od mianownika. Liczba mieszana łączy całkowitą liczbę całości z ułamkiem właściwym.

Dwie zamiany

  1. 3 27 oznacza 3 + 27. Trzy całości to 21 siódmych, więc razem mamy 237.
  2. Aby odwrócić zapis 175, dzielimy 17 : 5 = 3 reszty 2. Wynik: 3 25. Reszta staje się licznikiem, a mianownik się nie zmienia.
  3. Kontrola: 3 · 5 + 2 = 17. Jeśli reszta wynosi 0, wynikiem jest liczba całkowita.

Inny podział nie zmienia ilości

Dwa jednakowe paski: pierwszy podzielony na 4 części z 3 wyróżnionymi, drugi na 8 z 6 wyróżnionymi.
Rozszerzenie ułamka zmienia podział, lecz nie wybraną część całości.

Rozszerzanie mnoży licznik i mianownik przez tę samą dodatnią liczbę naturalną: 34 = 68. Każdą ćwiartkę podzielono na dwie części. Skracanie wykonuje odwrotny krok: dzieli licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik większy od 1.

Skróć 42/56

  1. NWD(42, 56) = 14. Dzielimy obie liczby przez 14.
  2. 4256 = 34. Liczby 3 i 4 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, więc ułamek jest nieskracalny.

Porównuj części tej samej wielkości

Przy wspólnym mianowniku większy licznik daje większy ułamek. Przy jednakowym dodatnim liczniku mniejszy mianownik daje większy ułamek, bo części są większe. Gdy różnią się oba, sprowadź do wspólnego mianownika.

Porównaj 2/3 i 3/4

  1. Wspólny mianownik to 12. Rozszerzamy 23 przez 4, a 34 przez 3.
  2. 23 = 812, a 34 = 912. Osiem dwunastych to mniej niż dziewięć, więc 23 < 34.
  3. Możesz też porównać iloczyny 2 · 4 = 8 i 3 · 3 = 9. To skrót tej samej metody, poprawny przy dodatnich mianownikach.
Uwaga na błąd. Skracanie nie polega na odejmowaniu tej samej liczby. Zmiana 3/4 na 2/3 przez odjęcie 1 zmienia wartość. W porównywaniu nie oceniaj samych mianowników, jeśli liczniki są różne.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Wskazówka

Porównaj licznik z mianownikiem.

Rozwiązanie i kontrola

Pięć z ośmiu równych części jednej całości. Jest właściwy, bo 5 < 8.

Zadanie 2

Wskazówka

Obie liczby dzielą się przez 12.

Rozwiązanie i kontrola

3648 = 34. Licznik i mianownik podzielono przez 12.

Zadanie 3

Wskazówka

Policz części w całych jednostkach; w drugiej zamianie podziel z resztą.

Rozwiązanie i kontrola

2 · 5 + 3 = 13, więc 135. Ponieważ 19 = 4 · 4 + 3, drugi wynik to 4 34.

Zadanie 4

Wskazówka

Wspólny mianownik to 18.

Rozwiązanie i kontrola

56 = 1518, 79 = 1418, zatem 56 > 79.

Zadanie 5

Wskazówka

Zapisz wszystko w ósmych.

Rozwiązanie i kontrola

12 = 48, 34 = 68. Kolejność: 12 < 58 < 34.

Najważniejsze zależności

Całość i równość części są podstawą modelu. Rozszerzaj lub skracaj obie części zapisu tym samym czynnikiem. Do porównania wybierz wspólne jednostki ułamkowe.

Sign up to track your progress

Test your knowledge

Test: Ułamki zwykłe – wprowadzenie i porównywanie
5 Q

Start Quiz