Liczby • lekcja 4 z 15
Rozkład na czynniki pierwsze. NWD i NWW
Dwie wstążki chcesz podzielić na jak najdłuższe jednakowe kawałki. Dwie lampki mają ponownie błysnąć razem. Oba zadania dotyczą liczb, lecz w pierwszym potrzebujesz wspólnego dzielnika, a w drugim wspólnej wielokrotności.
Po tej lekcji: rozłożysz liczbę na czynniki pierwsze, obliczysz NWD i NWW oraz dobierzesz je do zadania o podziale lub wspólnym cyklu.Na początek: Rozpoznajesz liczby pierwsze i sprawdzasz podzielność. Potęga 2³ oznacza 2 · 2 · 2.
Rozkład pokazuje budowę liczby
Rozłóż 84
- 84 jest parzyste: 84 = 2 · 42. Liczba 42 także: 42 = 2 · 21.
- 21 = 3 · 7. Wszystkie pozostałe czynniki są pierwsze.
- 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7. Sprawdzenie: 4 · 21 = 84. Nie kończ rozkładu na 4 · 21, bo czynniki nie są pierwsze.
NWD: co mieści się w obu liczbach?
{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":28,"text-content":"Wspólne czynniki → NWD","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":22,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":35,"y":97,"text-content":24,"text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":21,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":75,"y":70,"width":52,"height":44,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":101,"y":99,"text-content":"2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":24,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":138,"y":99,"text-content":"·","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":20,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":150,"y":70,"width":52,"height":44,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":176,"y":99,"text-content":"2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":24,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":213,"y":99,"text-content":"·","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":20,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":225,"y":70,"width":52,"height":44,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":251,"y":99,"text-content":"2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":24,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":288,"y":99,"text-content":"·","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":20,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":300,"y":70,"width":52,"height":44,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":326,"y":99,"text-content":"3","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":24,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":35,"y":177,"text-content":36,"text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":21,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":75,"y":150,"width":52,"height":44,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":101,"y":179,"text-content":"2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":24,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":138,"y":179,"text-content":"·","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":20,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":150,"y":150,"width":52,"height":44,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":176,"y":179,"text-content":"2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":24,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":213,"y":179,"text-content":"·","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":20,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":225,"y":150,"width":52,"height":44,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":251,"y":179,"text-content":"3","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":24,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":288,"y":179,"text-content":"·","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":20,"fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":300,"y":150,"width":52,"height":44,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":326,"y":179,"text-content":"3","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":24,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":230,"text-content":"Zaznaczone: 2 · 2 · 3 = 12","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":22,"fill":"#13233F"}}]}
Podziel wstążki 24 cm i 36 cm
- 24 = 2 · 2 · 2 · 3, a 36 = 2 · 2 · 3 · 3. W obu są dwie dwójki i jedna trójka.
- NWD(24, 36) = 2² · 3 = 12. Dłuższy wspólny odcinek nie zmieści się całkowitą liczbę razy w obu wstążkach.
- Tniemy na kawałki po 12 cm: 24 : 12 = 2, 36 : 12 = 3. Nie ma odpadu.
NWW: co zawiera obie liczby?
Dla 24 i 36 potrzebne są trzy dwójki i dwie trójki: NWW(24, 36) = 2³ · 3² = 72. Liczba 72 dzieli się zarówno przez 24, jak i przez 36. Zero też jest wspólną wielokrotnością, ale nie dodatnią, dlatego nie jest NWW.
Lampki błyskają co 12 i 18 sekund
- Zakładamy, że właśnie błysnęły razem. Szukamy pierwszego kolejnego wspólnego błysku.
- 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². Zatem NWW = 2² · 3² = 36.
- Po 36 sekundach pierwsza lampka wykona 3 cykle, druga 2. Wcześniejsze dodatnie wielokrotności 12 to 12 i 24 — żadna nie jest wielokrotnością 18.
Jak sprawdzić i jak wybrać?
Dla dodatnich liczb a i b zachodzi NWD(a, b) · NWW(a, b) = a · b. Dla 24 i 36: 12 · 72 = 864 i 24 · 36 = 864. Dodatkowo sprawdź znaczenie: NWD nie przekracza mniejszej liczby, NWW nie jest mniejsze od większej.
Uwaga na błąd. Słowo „największy” nie wystarcza do wyboru metody. Pytaj, czy szukana liczba ma dzielić dane, czy być ich wielokrotnością. Jeśli liczby nie mają wspólnego czynnika pierwszego, ich NWD wynosi 1, a nie 0.Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Zacznij od podzielenia przez 2.
Rozwiązanie i kontrola
90 = 2 · 45 = 2 · 3 · 15 = 2 · 3² · 5. Kontrola: 2 · 9 · 5 = 90.
Zadanie 2
Wskazówka
Porównaj 2 · 3² oraz 2 · 3 · 5.
Rozwiązanie i kontrola
Wspólne czynniki to 2 i 3. NWD = 6. Obie liczby dzielą się przez 6.
Zadanie 3
Wskazówka
8 = 2³, a 12 = 2² · 3.
Rozwiązanie i kontrola
NWW = 2³ · 3 = 24. Kontrola: 24 : 8 = 3 oraz 24 : 12 = 2.
Zadanie 4
Wskazówka
Liczba zestawów musi dzielić 20 i 30.
Rozwiązanie i kontrola
NWD(20, 30) = 10. Powstanie 10 zestawów, każdy z 2 czerwonymi i 3 niebieskimi koralikami.
Zadanie 5
Wskazówka
Szukasz dodatniej wspólnej wielokrotności odstępów.
Rozwiązanie i kontrola
NWW(20, 30) = 60 minut. Zabrzmią razem o 11:00.
Zadanie 6
Wskazówka
To różne liczby pierwsze.
Rozwiązanie i kontrola
NWD = 1, NWW = 35. Sprawdzenie: 1 · 35 = 5 · 7.
Najważniejsze zależności
NWD bierze wspólne czynniki w mniejszej liczbie powtórzeń. NWW bierze wszystkie potrzebne czynniki w większej liczbie powtórzeń. Zawsze odnieś wynik do sytuacji.
