Rozkład na czynniki pierwsze. NWD i NWW
Scenka: jesteś „detektywem liczb”. Dostajesz liczbę i musisz znaleźć jej „DNA”, czyli z jakich liczb pierwszych się składa. Potem, jak prawdziwy specjalista od śladów, wyciągasz z tego dwie superumiejętności: NWD (największy wspólny dzielnik) i NWW (najmniejszą wspólną wielokrotność). To często pojawia się przy ułamkach i zadaniach praktycznych.
Cel lekcji
- rozłożysz liczbę na czynniki pierwsze (także „drzewkiem”),
- wyznaczysz \(NWD\) i \(NWW\) z rozkładów,
- sprawdzisz wynik zależnością \(NWD\cdot NWW = a\cdot b\).
Rozkład na czynniki pierwsze
Rozkład na czynniki pierwsze polega na przedstawieniu liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Jest to możliwe dla każdej liczby naturalnej większej od 1 w jedyny sposób (pomijając kolejność czynników) – gwarantuje to zasada jednoznaczności rozkładu.
Aby rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, dzielimy ją kolejno przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze:
- zaczynamy od 2 i dzielimy tak długo, jak się da,
- następnie próbujemy 3, 5, 7, ... (kolejne liczby pierwsze),
- kończymy, gdy zostaną same liczby pierwsze.
Alternatywnie możesz użyć drzewka czynnikowego: rozbijasz liczbę na dwa czynniki, a potem każdy z nich, aż zostaną same liczby pierwsze.
Przykład 1: Rozłóż liczbę 84 na czynniki pierwsze
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":430,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":45,"text-anchor":"middle","font-size":28,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"Rozkład 84 na czynniki pierwsze"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":400,"cy":90,"r":28,"fill":"#DBEAFE","stroke":"#2563EB","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":100,"text-anchor":"middle","font-size":25,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"84"}},{"type":"line","attrs":{"x1":385,"y1":114,"x2":285,"y2":165,"stroke":"#64748B","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":415,"y1":114,"x2":505,"y2":165,"stroke":"#64748B","stroke-width":3}},{"type":"circle","attrs":{"cx":285,"cy":180,"r":27,"fill":"#DCFCE7","stroke":"#16A34A","stroke-width":3}},{"type":"circle","attrs":{"cx":505,"cy":180,"r":27,"fill":"#EDE9FE","stroke":"#7C3AED","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":285,"y":189,"text-anchor":"middle","font-size":24,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"2"}},{"type":"text","attrs":{"x":505,"y":189,"text-anchor":"middle","font-size":24,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"42"}},{"type":"line","attrs":{"x1":493,"y1":205,"x2":430,"y2":255,"stroke":"#64748B","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":517,"y1":205,"x2":575,"y2":255,"stroke":"#64748B","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":430,"y":280,"text-anchor":"middle","font-size":24,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"2"}},{"type":"text","attrs":{"x":575,"y":280,"text-anchor":"middle","font-size":24,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"21"}},{"type":"line","attrs":{"x1":565,"y1":290,"x2":515,"y2":330,"stroke":"#64748B","stroke-width":3}},{"type":"line","attrs":{"x1":585,"y1":290,"x2":635,"y2":330,"stroke":"#64748B","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":515,"y":357,"text-anchor":"middle","font-size":24,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"3"}},{"type":"text","attrs":{"x":635,"y":357,"text-anchor":"middle","font-size":24,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"7"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":410,"text-anchor":"middle","font-size":29,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"84 = 2 · 2 · 3 · 7"}}]}
Rozwiązanie: dzielimy kolejno:
\(84 : 2 = 42\)
\(42 : 2 = 21\)
\(21 : 3 = 7\)
Otrzymaliśmy 7, która jest liczbą pierwszą, więc kończymy. Zebrane czynniki: \(2,2,3,7\).
\[ 84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7. \]NWD – największy wspólny dzielnik
Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch (lub więcej) liczb to największa liczba, która dzieli bez reszty wszystkie te liczby. NWD wykorzystujemy np. przy skracaniu ułamków.
Metoda z czynników:
- rozłóż wszystkie liczby na czynniki pierwsze,
- weź tylko czynniki wspólne (takie, które występują w każdej liczbie),
- weź je w najmniejszych potęgach i pomnóż.
NWW – najmniejsza wspólna wielokrotność
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to najmniejsza liczba, która dzieli się przez każdą z danych liczb. NWW przydaje się np. przy sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika.
Metoda z czynników:
- rozłóż liczby na czynniki pierwsze,
- weź wszystkie czynniki, które się pojawiają, każdy w największej potędze,
- pomnóż.
Przykład 2: Wyznacz NWD i NWW liczb 84 i 60
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":0,"y":0,"width":800,"height":360,"fill":"#F8FAFC"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":54,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"NWD i NWW z rozkładu na czynniki"}},{"type":"text","attrs":{"x":400,"y":118,"text-anchor":"middle","font-size":31,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"84 = 2² · 3 · 7 60 = 2² · 3 · 5"}},{"type":"rect","attrs":{"x":70,"y":165,"width":300,"height":120,"rx":16,"fill":"#DCFCE7","stroke":"#16A34A","stroke-width":3}},{"type":"rect","attrs":{"x":430,"y":165,"width":300,"height":120,"rx":16,"fill":"#EDE9FE","stroke":"#7C3AED","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":215,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#166534","text-content":"NWD: wspólne"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":255,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"2² · 3 = 12"}},{"type":"text","attrs":{"x":580,"y":215,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#6D28D9","text-content":"NWW: wszystkie"}},{"type":"text","attrs":{"x":580,"y":255,"text-anchor":"middle","font-size":30,"font-weight":700,"fill":"#1F2937","text-content":"2² · 3 · 5 · 7"}}]}
Rozwiązanie: rozkłady:
\[ 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7, \] \[ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5. \]NWD(84, 60): czynniki wspólne to \(2^2\) i \(3\):
\[ NWD(84,60)=2^2\cdot 3 = 4\cdot 3 = 12. \]NWW(84, 60): bierzemy \(2^2\), \(3\), \(5\), \(7\):
\[ NWW(84,60)=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420. \]Szybkie sprawdzenie (świetne na egzaminie)
Istnieje zależność:
\[ NWD(a,b) \cdot NWW(a,b) = a \cdot b \quad\text{(dla dodatnich }a,b\text{).} \]W naszym przykładzie:
\[ 12 \cdot 420 = 84 \cdot 60 = 5040. \]Sprawdź się (3 minuty)
- Rozłóż na czynniki pierwsze: 90.
- Wyznacz \(NWD(72, 120)\).
- Wyznacz \(NWW(18, 24)\).
- Sprawdź zależnością \(NWD\cdot NWW = a\cdot b\) dla liczb 18 i 24.
Odpowiedzi
- \(90 = 2\cdot 3^2\cdot 5\).
- \(72=2^3\cdot 3^2\), \(120=2^3\cdot 3\cdot 5\), więc \(NWD=2^3\cdot 3 = 24\).
- \(18=2\cdot 3^2\), \(24=2^3\cdot 3\), więc \(NWW=2^3\cdot 3^2 = 72\).
- \(NWD\cdot NWW = 6\cdot 72 = 432\) oraz \(18\cdot 24 = 432\).
