Liczby • lekcja 3 z 15
Podzielność liczb naturalnych. Liczby pierwsze i złożone
Czy 234 cukierki można rozdzielić po równo między sześć osób bez reszty? Nie musisz zaczynać od dzielenia pisemnego. Cechy podzielności szybko podpowiadają odpowiedź — pod warunkiem że sprawdzisz wszystkie potrzebne warunki.
Po tej lekcji: rozpoznasz podzielność przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 i 15 oraz uzasadnisz, czy niewielka liczba jest pierwsza czy złożona.Na początek: Rozumiesz dzielenie z resztą. Dzielniki rozpatrujemy jako dodatnie liczby naturalne.
Dzielnik a wielokrotność
Ponieważ 24 = 6 · 4, liczba 6 jest dzielnikiem 24. Kolejne dodatnie wielokrotności 6 to 6, 12, 18, 24… Nie zamieniaj tych nazw: 24 nie jest dzielnikiem 6.
Co wystarczy sprawdzić?
| Przez | Warunek |
|---|---|
| 2 | Ostatnia cyfra: 0, 2, 4, 6 lub 8. |
| 3 lub 9 | Suma cyfr jest podzielna odpowiednio przez 3 lub 9. |
| 4 | Liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4. |
| 8 | Liczba z trzech ostatnich cyfr dzieli się przez 8. |
| 5 lub 10 | Ostatnia cyfra to 0 lub 5 dla dzielnika 5; tylko 0 dla dzielnika 10. |
| 6 lub 15 | Jednocześnie przez 2 i 3 dla 6; jednocześnie przez 3 i 5 dla 15. |
Dla krótszego zapisu w testach przez 4 lub 8 sprawdzamy całą liczbę. Reguła dwóch ostatnich cyfr działa, bo każda pełna setka dzieli się przez 4. Podobnie każdy pełny tysiąc dzieli się przez 8. Test sumy cyfr nie polega na sprawdzaniu każdej cyfry osobno.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":25,"y":10,"width":350,"height":80,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":37,"text-content":"Test przez 2","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":70,"text-content":"234 jest parzyste","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":25,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":200,"y1":92,"x2":200,"y2":111,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"194,106 206,106 200,113","fill":"#1769D3"}},{"type":"rect","attrs":{"x":25,"y":115,"width":350,"height":80,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":142,"text-content":"Test przez 3","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":175,"text-content":"2 + 3 + 4 = 9","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":25,"fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":200,"y1":197,"x2":200,"y2":216,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"194,211 206,211 200,218","fill":"#1769D3"}},{"type":"rect","attrs":{"x":25,"y":220,"width":350,"height":80,"fill":"#fff4bf","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":247,"text-content":"Oba warunki spełnione","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":18,"fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":200,"y":280,"text-content":"234 : 6 = 39","text-anchor":"middle","font-family":"Arial, sans-serif","font-size":25,"fill":"#13233F"}}]}
Sprawdź 1458
- Ostatnia cyfra 8 oznacza podzielność przez 2, ale nie przez 5 ani 10.
- Suma cyfr: 1 + 4 + 5 + 8 = 18. Jest podzielna przez 3 i 9, więc 1458 też.
- Końcówka 58 nie dzieli się przez 4. Liczba dzieli się przez 6, bo spełnia równocześnie warunki dla 2 i 3.
Pierwsza czy złożona?
Liczba 2 jest pierwsza i jako jedyna liczba pierwsza jest parzysta. Aby dowieść złożoności, wystarczy znaleźć jeden dzielnik różny od 1 i samej liczby. Aby dowieść pierwszości, trzeba wykluczyć wszystkie możliwe małe dzielniki.
Dlaczego 37 jest pierwsza, a 91 złożona?
- Gdyby 37 = a · b i oba czynniki były co najmniej 7, iloczyn wynosiłby co najmniej 49. Wystarczy więc sprawdzić dzielniki pierwsze mniejsze od 7: 2, 3, 5.
- 37 nie jest parzyste, suma cyfr 10 nie dzieli się przez 3, ostatnia cyfra nie jest 0 ani 5. Zatem 37 jest pierwsza.
- 91 = 7 · 13, więc ma dzielnik 7 i jest złożona. Sama nieparzystość nie gwarantuje pierwszości.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Szukaj par czynników.
Rozwiązanie i kontrola
1 · 18, 2 · 9, 3 · 6. Dzielniki: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Zadanie 2
Wskazówka
Sprawdź parzystość, sumę cyfr oraz ostatnią cyfrę.
Rozwiązanie i kontrola
Tak w obu przypadkach. Liczba jest parzysta, suma cyfr to 6, a ostatnia cyfra to 0.
Zadanie 3
Wskazówka
Sprawdź 312.
Rozwiązanie i kontrola
Tak: 312 = 8 · 39; również 1312 = 8 · 164.
Zadanie 4
Wskazówka
Suma cyfr to 7 + x.
Rozwiązanie i kontrola
Wśród sum od 7 do 16 wielokrotności 3 to 9, 12, 15. Zatem x = 2, 5 lub 8.
Zadanie 5
Wskazówka
Dla 29 wystarczą dzielniki pierwsze 2, 3, 5.
Rozwiązanie i kontrola
29 nie dzieli się przez 2, 3 ani 5. Dwa czynniki co najmniej 6 dałyby co najmniej 36, więc innych testów nie potrzeba. Natomiast 49 = 7 · 7 jest złożona.
Zadanie 6
Wskazówka
Sprawdź ostatnią cyfrę, sumę cyfr i odpowiednie końcówki.
Rozwiązanie i kontrola
Przez 2, 4, 5, 8 i 10. Końcówka 0 spełnia testy dla 2, 5 i 10; 40 : 4 = 10, a 240 : 8 = 30. Suma cyfr to 7, więc liczba nie dzieli się przez 3 ani 9.
Najważniejsze zależności
Cechy podzielności mówią o braku reszty. Pierwszość wymaga dokładnie dwóch dzielników; nieparzystość nie wystarcza. Przy warunkach łączonych sprawdzaj oba.
