Uporządkowanie danych i tabela częstości — lekcja dla uczniów

Cele lekcji

• Wyjaśnić, co znaczy uporządkować dane (sortowanie, grupowanie).
• Pokazać, jak stworzyć tabelę częstości i jak ją sprawdzić.
• Omówić częstość względną w prostym ujęciu (ułamek i procent).
• Przećwiczyć typowe zadania: uzupełnianie tabeli, znajdowanie brakującej wartości, kontrola sum.

Co znaczy „uporządkować dane”?

Uporządkować dane oznacza przygotować je tak, aby łatwiej było je analizować i czytać. Dwa podstawowe sposoby:

• Sortowanie:
  • rosnąco — od najmniejszej do największej,
  • malejąco — od największej do najmniejszej.

  Przykład: \(2,5,1,4 \to 1,2,4,5\) (sortowanie rosnące).

• Grupowanie:
  • Polega na zebraniu takich samych lub podobnych wartości razem i policzeniu ich liczby.
  • Przydatne, gdy mamy powtarzające się odpowiedzi (np. odpowiedzi A, B, C).

Dlaczego porządkować? Dzięki temu łatwiej zauważyć wzory, znaleźć najczęstsze wartości i przygotować wykresy lub tabele.

Tabela częstości — co to jest?

Tabela częstości pokazuje, ile razy wystąpiła dana wartość lub odpowiedź w zbiorze danych.

Struktura prostej tabeli częstości:

• kolumna „Wartość” (np. A, B, C lub liczby),
• kolumna „Częstość” \(f\) — ile razy ta wartość wystąpiła,
• (opcjonalnie) kolumna „Częstość względna” \(h\) — ułamek lub procent z całego zbioru.

Przykład krok po kroku:
Mamy odpowiedzi klasy na pytanie — „Którą odpowiedź wybraliście?”: A, B, A, C, A, B.

1. Wypisz unikalne wartości: A, B, C.
2. Policz wystąpienia:
   • A: 3 razy,
   • B: 2 razy,
   • C: 1 raz.
3. Zapisz w tabeli:

Suma częstości — kontrola poprawności

Suma wszystkich częstości powinna równać się liczbie wszystkich obserwacji (liczbie odpowiedzi).

W naszym przykładzie:

Liczba obserwacji \(n = 6\). Jeśli suma w tabeli nie daje \(n\), oznacza to błąd w liczeniu lub brakujące/zbędne dane.

Zasada do zapamiętania: suma częstości = liczba obserwacji.

Częstość względna — prosty sens

Częstość względna mówi, jaki ułamek (lub procent) wszystkich obserwacji stanowi dana wartość.

Definicja (proste ujęcie):

• Częstość względna dla wartości X: \(h_X = \frac{f_X}{n}\).
• Jeśli chcemy procent, mnożymy przez 100: procent = \(100 \cdot h_X\).

Dla naszej tabeli:

• \(h_A = \frac{3}{6} = 0{,}5 = 50\%\),
• \(h_B = \frac{2}{6} \approx 0{,}333 = 33{,}3\%\),
• \(h_C = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 = 16{,}7\%\).

Sprawdzenie: suma częstości względnych powinna dawać 1 (lub 100%):

Typowe zadania i jak je rozwiązywać

1. Uzupełnij tabelę częstości.
   • Krok 1: wypisz wszystkie unikalne wartości.
   • Krok 2: policz, ile razy występuje każda.
   • Krok 3: wpisz wyniki i sprawdź sumę.
2. Znajdź brakującą wartość w tabeli.

   Jeśli znasz \(n\) i część częstości, brakującą znajdziesz przez odjęcie:

   \[ f_{\text{brak}} = n - \sum (\text{znane } f) \]

   Przykład: znamy odpowiedzi A:4, B:3, C:?, a \(n=10\).
   Obliczenie: \(f_C = 10 - (4+3) = 3\).

3. Sprawdź zgodność sum.
   • Dodaj wszystkie częstości; wynik musi równać się \(n\).
   • Jeśli w tabeli są częstości względne, sprawdź, czy suma daje 1 (lub 100%).
4. Zamiana częstości względnej na procent i odwrotnie.
   • Z ułamka do procentu: \(h \mapsto 100\cdot h\).
   • Z procentu do ułamka: \( \text{procent} / 100\).

Krótkie przypomnienia i wskazówki

• Dla dużej liczby różnych wartości warto rozważyć grupowanie (np. przedziały klasowe dla liczb), ale to już kolejny krok — na tym etapie liczymy dokładne częstości.
• Uważaj na literówki i różne formaty zapisu odpowiedzi (np. „A” vs „a”); traktuj je spójnie.
• Zawsze sprawdzaj sumę częstości — to najprostszy sposób wykrycia błędów.

Proste zadanie do samodzielnego rozwiązania

Dane: odpowiedzi — B, A, B, B, C, A, A, B.

1. Zrób tabelę częstości.
2. Oblicz częstości względne i procenty.
3. Sprawdź, czy suma częstości równa się liczbie obserwacji.

(rozwiązanie można wykonać według kroków przedstawionych wyżej)

Materiały te realizują cele lekcji: pokazują, jak uporządkować dane, jak stworzyć i sprawdzić tabelę częstości oraz jak interpretować częstość względną w prosty sposób.