Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 6 z 18
6. Obliczanie wartości złożonych wyrażeń
Długi zapis nie wymaga nowej arytmetyki. Wymaga za to porządku: podstawienia, kontroli mianownika i obliczania małych fragmentów bez utraty znaków.
Po tej lekcji: obliczysz wartość wyrażenia z kilkoma zmiennymi, potęgą, nawiasem i ułamkiem oraz znajdziesz pierwszy błąd w rozwiązaniu.Na początek: umiesz podstawiać liczby ujemne, obliczać potęgi i stosować kolejność działań.
Nie rób wszystkiego w pamięci
W wyrażeniu 2a² − 3(a − b) są dwa większe fragmenty: 2a² oraz 3(a − b). Możesz obliczyć je oddzielnie, a na końcu wykonać odejmowanie. Zapisuj znak stojący przed fragmentem aż do chwili, gdy wykorzystasz go w działaniu.
Dwa minusy pełnią różne role
Przyjmij a = −2 i b = 5.
- Podstaw: 2 · (−2)² − 3 · ((−2) − 5).
- Potęga to 4, a różnica w nawiasie to −7: otrzymujemy 2 · 4 − 3 · (−7).
- Iloczyny to 8 i −21, więc mamy 8 − (−21).
- Odejmowanie liczby ujemnej daje dodawanie: 8 + 21 = 29.
Kontrola znaku: odejmujemy ujemny iloczyn, zatem wynik powinien być większy niż 8. Liczba 29 spełnia ten warunek.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":15,"y":15,"width":195,"height":90,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":230,"y":15,"width":195,"height":90,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":112,"y":47,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2a²"}},{"type":"text","attrs":{"x":112,"y":82,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"8"}},{"type":"text","attrs":{"x":327,"y":47,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3(a − b)"}},{"type":"text","attrs":{"x":327,"y":82,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"−21"}},{"type":"line","attrs":{"x1":110,"y1":115,"x2":220,"y2":145,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":330,"y1":115,"x2":220,"y2":145,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":220,"y1":148,"x2":220,"y2":170,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"215,164 225,164 220,172","fill":"#1769D3"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":185,"width":380,"height":55,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":219,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"8 − (−21) = 29"}}]}
Kreska ułamkowa grupuje
Dla m = 10 i n = −1 mamy (10 − 2 · (−1))/3 = (10 + 2)/3 = 12/3 = 4. Wynik 10 − 2 · (−1)/3 dotyczyłby innego wyrażenia, bo tylko iloczyn byłby dzielony przez 3.
Jeśli mianownik też zawiera literę, najpierw sprawdź, czy po podstawieniu nie jest zerem. Dla (x + 1)/(x − 2) wartość x = 2 jest wykluczona. Dla x = 3 możemy liczyć: (3 + 1)/(3 − 2) = 4/1 = 4.
Szukaj pierwszego błędnego kroku
Uczeń zapisał 3 · (−2)² = 3 · (−4) = −12. Samo ostatnie mnożenie jest poprawne, ale wcześniej źle obliczono kwadrat: (−2)² = 4. Poprawny wynik to 3 · 4 = 12. Naprawianie tylko ostatniego wyniku nie pokazuje przyczyny błędu.
Nie redukuj „na wyczucie” przed podstawieniem. Metod uproszczeń nauczysz się w kolejnych lekcjach. Już teraz możesz zawsze bezpiecznie obliczać z definicji, zachowując nawiasy i kolejność działań. Mnożenie oraz dzielenie mają ten sam priorytet; bez dodatkowych nawiasów wykonujemy je od lewej do prawej.Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Oddziel potęgę od iloczynu.
Rozwiązanie i kontrola
(−3)² + 2 · 4 = 9 + 8 = 17.
Zadanie 2
Wskazówka
Najpierw ustal a − b.
Rozwiązanie i kontrola
2 · 2² − 3 · (2 − (−1)) = 8 − 9 = −1.
Zadanie 3
Wskazówka
Cały licznik dzielisz przez 3.
Rozwiązanie i kontrola
(7 − 2 · (−4))/3 = (7 + 8)/3 = 15/3 = 5.
Zadanie 4
Wskazówka
Jaki znak ma iloczyn 2 · (−3)?
Rozwiązanie i kontrola
Już pierwszy krok jest błędny: iloczyn wynosi −6. Poprawnie 5 − (−6) = 11.
Zadanie 5
Wskazówka
Sprawdź osobno licznik i mianownik.
Rozwiązanie i kontrola
Dla x = −1 otrzymujemy 0/(−3) = 0. Dla x = 2 mianownik jest zerem, więc wyrażenie nie ma wartości.
Najważniejsze zależności
Podstaw z nawiasami, sprawdź mianownik i rozbij rachunek na fragmenty. Przy szukaniu pomyłki porównuj sąsiednie kroki od początku, nie tylko odpowiedź końcową.
