Jednomian, suma algebraiczna i wyrazy podobne — wyjaśnienie dla ucznia
Poniżej znajdziesz krótkie i praktyczne wyjaśnienie podstawowych pojęć oraz proste instrukcje, jak je rozpoznawać i porządkować. Celem jest, żebyś potrafił rozpoznać jednomian, wypisać składniki sumy algebraicznej i połączyć wyrazy podobne.
1. Czym jest jednomian?
Jednomian to iloczyn liczby (współczynnika) i zmiennych podniesionych do nieujemnych całkowitych wykładników. Przykłady jednomianów:
- \(7x^2\)
- \(-3y\)
- \(0.5ab\)
- \(4\)
W jednomianie:
- liczba \(7\) to współczynnik w \(7x^2\),
- część literowa to np. \(x^2\) lub \(ab\),
- stopień jednomianu to suma wykładników zmiennych (dla \(7x^2\) stopień = \(2\); dla \(0.5ab\) stopień = \(1+1=2\)).
2. Co to jest suma algebraiczna?
Suma algebraiczna (czasem po prostu „wyrażenie algebraiczne”) to suma kilku jednomianów, np.:
- \(3x + 5 - 2x + 4\)
- \(2x^2y - 5x^2y + 7z\)
Każdy składnik tej sumy nazywamy wyrazem (jednomianem). Wyrażenie można upraszczać przez łączenie wyrazów podobnych.
3. Wyrazy podobne — jak je rozpoznać?
Wyrazy są podobne, gdy mają identyczną część literową (te same zmienne i te same wykładniki). Przykłady:
- \(3x^2y\) i \(-5x^2y\) — wyrazy podobne (część literowa \(x^2y\) jest taka sama).
- \(2xy\) i \(3yx\) — też podobne, bo \(xy = yx\).
- \(4x\) i \(4y\) — nie są podobne (różne zmienne).
Uwaga: współczynniki mogą być różne — to właśnie je dodajemy/odejmujemy, gdy łączymy wyrazy podobne.
4. Krok po kroku: jak rozpoznawać i porządkować składniki wyrażeń
- Rozbij wyrażenie na pojedyncze jednomiany (oddziel znaki + i −).
- W każdym jednomianie uporządkuj zmienne w ustalonym porządku (np. alfabetycznie): \(yx\) → \(xy\). Dzięki temu łatwiej dostrzeżesz, które części literowe są takie same.
- Grupuj wyrazy o tej samej części literowej.
- Dodaj współczynniki wyrazów podobnych.
- Zapisz wynik; jeśli współczynnik 0, usuń dany wyraz.
Przykład uproszczenia (kroki pokazane wyraźnie):
\[ 3x + 5 - 2x + 4 \]Rozbijamy i grupujemy wyrazy:
\[ (3x - 2x) + (5 + 4) \]Dodajemy współczynniki:
\[ 1x + 9 \]Zwykle piszemy krócej:
\[ x + 9 \]Inny przykład z literami:
\[ 2x^2y - 5x^2y + 7z \]Grupujemy podobne:
\[ (2 - 5)x^2y + 7z = -3x^2y + 7z \]5. Kilka krótkich wskazówek i wyjaśnień
- Jeśli wszystkie zmienne i wykładniki są takie same, to wyrazy są podobne niezależnie od kolejności liter (np. \(ab\) i \(ba\) są takie same).
- Jeśli po dodaniu współczynników otrzymasz \(0\), to cały wyraz znika z zapisu (np. \(5x - 5x = 0\)).
- Staraj się zapisywać zmienne w porządku alfabetycznym — ułatwia to porównywanie.
- Stopień wyrazu pomaga w porządkowaniu wyrazów (np. najpierw wyrazy stopnia najwyższego).
6. Krótkie zadanie do samodzielnego rozwiązania
Uprość wyrażenie i podaj wynik:
\[ 4ab + 3ba - 2a + 5 - 7ab + 10a \](Przypomnienie: \(ba = ab\).)
Rozwiąż samodzielnie, a potem porównaj z tym wynikiem:
\[ (4ab + 3ab - 7ab) + (-2a + 10a) + 5 = 0ab + 8a + 5 = 8a + 5 \]Powodzenia — przećwicz rozpoznawanie jednomianów i łączenie wyrazów podobnych na kilku przykładach, aż stanie się to dla Ciebie intuicyjne.
