Jak obliczać wartość wyrażenia algebraicznego po podstawieniu liczb
Opis: Krótkie i praktyczne wyjaśnienie, co zrobić krok po kroku, gdy mamy wyrażenie algebraiczne i znamy wartości zmiennych. Zawiera przykłady z jedną i wieloma zmiennymi oraz typowe błędy do sprawdzenia.
Cel: Uczeń potrafi obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego po podstawieniu konkretnych liczb za zmienne.
Co to znaczy „podstawić liczby”?
Podstawienie polega na zastąpieniu każdej zmiennej w wyrażeniu liczbą, którą znamy, a następnie wykonaniu działań zgodnie z kolejnością działań (nawiasy, potęgowanie, mnożenie/dzielenie, dodawanie/odejmowanie).
Przykład zapisu wyrażenia: \(3x^2 - 2x + 5\).
Jeśli \(x=2\), to podstawiamy \(2\) w miejsce \(x\): \(3(2)^2 - 2(2) + 5\), a następnie obliczamy wynik.
Krok po kroku — uniwersalna procedura
- Przeczytaj wyrażenie i zapisz wartości zmiennych.
- Podstaw wartości za każdą zmienną (wszystkie wystąpienia).
- Wykonaj działania zgodnie z kolejnością działań:
- najpierw nawiasy,
- potem potęgi i pierwiastki,
- następnie mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej),
- na końcu dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej).
- Sprawdź wynik (np. oblicz ponownie lub użyj kalkulatora).
Przykłady z objaśnieniami
Przykład 1 — jedna zmienna
Oblicz wartość \(3x^2 - 2x + 5\) dla \(x=2\).
\[3x^2 - 2x + 5\]Podstawiamy:
\[3(2)^2 - 2(2) + 5\]Liczymy potęgę i mnożenia:
\[3\cdot 4 - 4 + 5 = 12 - 4 + 5\]Dodajemy/odejmujemy:
\[12 - 4 + 5 = 13\]Przykład 2 — zmienne ujemne
Oblicz \(x^2 - 4x + 7\) dla \(x=-1\).
\[(-1)^2 - 4(-1) + 7 = 1 + 4 + 7 = 12\]Uwaga: nawias wokół \(-1\) jest ważny przy podnoszeniu do potęgi lub gdy mnożymy przez znak.
Przykład 3 — wiele zmiennych
Oblicz \(2a + 3b\) dla \(a=4\), \(b=-1\).
\[2(4) + 3(-1) = 8 - 3 = 5\]Przykład 4 — nawiasy i mnożenie dwóch wyrażeń
Oblicz \((x-1)(x+2)\) dla \(x=3\).
\[(3-1)(3+2) = 2\cdot 5 = 10\]Przykład 5 — ułamki i liczby dziesiętne
Oblicz \(\frac{1}{2}x + 0{,}25y\) dla \(x=4\), \(y=2\).
\[\frac{1}{2}\cdot 4 + 0{,}25\cdot 2 = 2 + 0{,}5 = 2{,}5\]Typowe błędy i uwagi
- Nie zapomnij podstawić wartości za wszystkie wystąpienia zmiennej (np. gdy \(x\) pojawia się kilka razy).
- Używaj nawiasów, zwłaszcza przy podstawianiu liczb ujemnych: zamiast pisać \(-2^2\) zapisz \((-2)^2\), jeśli chcesz podnieść \(-2\) do kwadratu.
- Jeśli w wyrażeniu są ułamki, możesz najpierw sprowadzić wszystko do wspólnego mianownika albo użyć liczb dziesiętnych — ważne, żeby zachować precyzję.
- Sprawdź wyniki prostym ponownym obliczeniem z inną kolejnością działań (np. najpierw dodawanie par, potem reszta) albo kalkulatorem.
Krótkie zadania do samodzielnej pracy
- Oblicz \(5x - 3\) dla \(x=6\).
- Oblicz \(x^2 + 2xy + y^2\) dla \(x=1\), \(y=2\).
- Oblicz \(\frac{3x}{4} - 0{,}5y\) dla \(x=8\), \(y=2\).
(Sprawdź rozwiązania zgodnie z procedurą: podstaw — wykonaj działania — skontroluj wynik.)
Podsumowanie
Podstawianie to zastąpienie zmiennych liczbami i prawidłowe wykonanie działań według kolejności. Ćwicz na różnych przykładach (wartości dodatnie, ujemne, ułamki) — dzięki temu zbudujesz pewność przy pracy z wyrażeniami algebraicznymi.
