# K4-C5 (R). Kosmologia w zarysie: przesunięcie ku czerwieni i prawo Hubble’a Ta lekcja dotyczy **zakresu rozszerzonego (R)**. To wprowadzenie „maturalne”: proste zależności i interpretacje. ## Cel lekcji Po tej lekcji potrafisz: - zdefiniować przesunięcie ku czerwieni \(z\) i obliczyć je z długości fali, - wyjaśnić jakościowo, co oznacza czerwienienie widm galaktyk, - stosować prawo Hubble’a \(v=H_0 d\) w prostych zadaniach, - rozróżnić (na poziomie intuicji) przesunięcie Dopplera od kosmologicznego przesunięcia ku czerwieni. --- ## 1) Przesunięcie ku czerwieni \(z\) Jeśli linia widmowa w laboratorium ma długość \(\lambda_0\), a w świetle z galaktyki obserwujesz \(\lambda\), to definiuje się: \[ z=\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0}. \] - \(z>0\): \(\lambda\) większa → przesunięcie ku czerwieni, - \(z<0\): przesunięcie ku fioletowi (rzadsze w kosmologii). --- ## 2) Co to oznacza fizycznie? Czerwienienie widm odległych galaktyk interpretujemy jako skutek oddalania się. W małych prędkościach (w przybliżeniu) można łączyć to z efektem Dopplera, ale w kosmologii istotna jest też ekspansja przestrzeni. Na maturze najczęściej chodzi o: - obliczenie \(z\), - jakościową interpretację: „obiekt się oddala”. --- ## 3) Prawo Hubble’a (R) W uproszczeniu dla niezbyt dużych odległości: \[ v=H_0 d. \] Gdzie: - \(v\) — prędkość ucieczki galaktyki (w modelu), - \(d\) — odległość, - \(H_0\) — stała Hubble’a. W zadaniach \(H_0\) zwykle jest podane, często w jednostkach \(\text{km/s/Mpc}\). --- ## 4) Jak liczyć w praktyce? Jeśli \(H_0\) jest w \(\text{km/s/Mpc}\), to: - \(v\) wychodzi w \(\text{km/s}\), - \(d\) w Mpc. Najczęstsza pułapka: mieszanie \(\text{km/s}\) z \(\text{m/s}\) i Mpc z metrami. --- ## 5) Przykład \(H_0=70\,\text{km/s/Mpc}\). Galaktyka ma \(v=1400\,\text{km/s}\). \[ d=\frac{v}{H_0}=\frac{1400}{70}=20\,\text{Mpc}. \] --- ## 6) Co warto zapamiętać jakościowo? - Im dalej galaktyka, tym większe \(v\) (średnio) → tym większe przesunięcie ku czerwieni. - To jest jedna z podstaw obserwacyjnych obrazu rozszerzającego się Wszechświata. --- ## Najczęstsze błędy 1) Wstawienie \(\lambda\) i \(\lambda_0\) w różnych jednostkach (nm i Å) bez przeliczenia. 2) Zły znak w \(z\). 3) Jednostki w prawie Hubble’a. --- ## Ćwiczenia do samodzielnej pracy (z odpowiedziami) 1) Linia ma \(\lambda_0=500\,\text{nm}\), a obserwujesz \(\lambda=550\,\text{nm}\). Oblicz \(z\). 2) \(H_0=70\,\text{km/s/Mpc}\), \(v=2100\,\text{km/s}\). Oblicz \(d\). 3) Jak interpretujesz \(z>0\) jakościowo? **Odpowiedzi:** 1) \(z=(550-500)/500=0{,}10\). 2) \(d=2100/70=30\,\text{Mpc}\). 3) Obiekt się oddala (widmo jest przesunięte ku czerwieni). --- ## Wizualizacje ### Przesunięcie linii widmowej ku czerwieni (schemat) Linia przesuwa się w stronę większych \(\lambda\). To wystarcza do interpretacji \(z>0\): „obiekt się oddala”. [[svg width="720" height="220" viewbox="0,0,720,220" preserveaspectratio="xMidYMid meet"]] { "version": 1, "elements": [ {"type":"rect","attrs":{"x":12,"y":12,"width":696,"height":196,"fill":"#ffffff","stroke":"#e0e0e0","stroke-width":2,"rx":12}}, {"type":"line","attrs":{"x1":80,"y1":160,"x2":660,"y2":160,"stroke":"#455a64","stroke-width":2}}, {"type":"polygon","attrs":{"points":"660,160 646,154 646,166","fill":"#455a64"}}, {"type":"text","attrs":{"x":668,"y":164,"text-anchor":"start","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"\u03bb"}}, {"type":"line","attrs":{"x1":210,"y1":70,"x2":210,"y2":170,"stroke":"#1976d2","stroke-width":6}}, {"type":"text","attrs":{"x":210,"y":60,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#1976d2","text-content":"\u03bb0"}}, {"type":"line","attrs":{"x1":360,"y1":70,"x2":360,"y2":170,"stroke":"#c62828","stroke-width":6}}, {"type":"text","attrs":{"x":360,"y":60,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#c62828","text-content":"\u03bb"}}, {"type":"line","attrs":{"x1":220,"y1":110,"x2":350,"y2":110,"stroke":"#c62828","stroke-width":3}}, {"type":"polygon","attrs":{"points":"350,110 336,104 336,116","fill":"#c62828"}}, {"type":"text","attrs":{"x":286,"y":96,"text-anchor":"middle","font-size":11,"fill":"#c62828","text-content":"\u0394\u03bb>0"}}, {"type":"text","attrs":{"x":360,"y":30,"text-anchor":"middle","font-size":13,"fill":"#607d8b","text-content":"z=(\u03bb-\u03bb0)/\u03bb0"}} ] } [[/svg]] ### Prawo Hubble’a: \(v\propto d\) (wykres liniowy) Wykres pokazuje kształt zależności. Skala zależy od \(H_0\) i jednostek. [[graph expr="x" domain="0,10" height="260"]] ### Zależność \(z\) od ilorazu \(\lambda/\lambda_0\) (przypomnienie definicji) Jeśli oznaczysz \(x=\lambda/\lambda_0\), to \(z=x-1\). [[graph expr="x-1" domain="0.8,1.6" height="240"]]