# K4-D2 (P + R). Analiza wymiarowa i rzędy wielkości Ta lekcja łączy zakres **podstawowy i rozszerzony (P + R)**. To technika, która ratuje punkty w zadaniach rachunkowych. ## Cel lekcji Po tej lekcji potrafisz: - sprawdzać poprawność wzoru przez analizę jednostek, - przekształcać jednostki i pracować na potęgach 10, - wykonywać oszacowania rzędu wielkości (Fermi estimates), - używać analizy wymiarowej do „zbudowania” wzoru w prostych sytuacjach. --- ## 1) Po co analiza wymiarowa? Jeśli równanie jest poprawne, to jego obie strony mają te same jednostki (wymiary). To pozwala: - wykryć błąd w przekształceniach, - sprawdzić wynik bez kalkulatora, - czasem odgadnąć postać zależności. --- ## 2) Wymiary podstawowe W liceum najczęściej wystarczą: - długość \([L]\), - czas \([T]\), - masa \([M]\), - ładunek \([Q]\) (czasem). Przykłady: - prędkość \(v\): \([v]=[L][T]^{-1}\), - przyspieszenie \(a\): \([a]=[L][T]^{-2}\), - siła \(F\): \([F]=[M][L][T]^{-2}\). --- ## 3) Przykład kontroli jednostek: \(E_k=\frac12 mv^2\) \([ E_k]=[M]\cdot([L][T]^{-1})^2=[M][L]^2[T]^{-2}\). To są jednostki dżula \(\text{J}=\text{kg·m}^2/\text{s}^2\). Zgadza się. --- ## 4) Budowanie zależności (prosty model) Załóżmy, że czas spadania \(t\) zależy od wysokości \(h\) i przyspieszenia \(g\). Szukamy postaci: \[ t\propto h^\alpha g^\beta. \] Wymiary: - \([t]=[T]\), - \([h]=[L]\), - \([g]=[L][T]^{-2}\). Czyli: \[ [T]=[L]^\alpha\left([L][T]^{-2}\right)^\beta=[L]^{\alpha+\beta}[T]^{-2\beta}. \] Porównując wykładniki: - dla \([T]\): \(-2\beta=1\Rightarrow \beta=-1/2\), - dla \([L]\): \(\alpha+\beta=0\Rightarrow \alpha=1/2\). Dostajesz: \[ t\propto \sqrt{\frac{h}{g}}. \] To jest zgodne ze wzorem ze swobodnego spadku \(t=\sqrt{2h/g}\) (brakuje tylko stałej bezwymiarowej \(\sqrt{2}\)). --- ## 5) Rzędy wielkości **Rząd wielkości** to przybliżenie potęgą 10. Przykłady: - \(c\approx 3\cdot 10^8\,\text{m/s}\), - promień atomu \(\sim 10^{-10}\,\text{m}\), - promień jądra \(\sim 10^{-15}\,\text{m}\). Umiejętność: „czy wynik ma sens?” --- ## Najczęstsze błędy 1) Gubienie potęg 10 przy przeliczaniu jednostek. 2) Uznanie, że analiza wymiarowa da „zawsze cały wzór” — zwykle daje postać do stałej bezwymiarowej. 3) Brak kontroli sensu: wynik o złym rzędzie wielkości. --- ## Ćwiczenia do samodzielnej pracy (z odpowiedziami) 1) Sprawdź jednostki mocy \(P=UI\). 2) Wykonaj oszacowanie: jeśli \(v\approx 10\,\text{m/s}\), to w 1 s ciało przebywa rząd wielkości jaką drogę? 3) (R) Z analizy wymiarowej pokaż, że \(t\propto\sqrt{h/g}\). **Odpowiedzi:** 1) \(\text{V·A}=\text{W}\). 2) Około \(10\,\text{m}\). 3) Jak w sekcji 4. --- ## Wizualizacje ### „Słownik wymiarów” (ściąga) Jeśli pamiętasz kilka kluczowych wymiarów, łatwo wyłapiesz błędy w jednostkach. [[svg width="720" height="240" viewbox="0,0,720,240" preserveaspectratio="xMidYMid meet"]] { "version": 1, "elements": [ {"type":"rect","attrs":{"x":12,"y":12,"width":696,"height":216,"fill":"#ffffff","stroke":"#e0e0e0","stroke-width":2,"rx":12}}, {"type":"rect","attrs":{"x":60,"y":60,"width":190,"height":120,"fill":"#e3f2fd","stroke":"#1976d2","stroke-width":2,"rx":12}}, {"type":"text","attrs":{"x":155,"y":90,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#1976d2","text-content":"v"}}, {"type":"text","attrs":{"x":155,"y":114,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#1976d2","text-content":"[v]=[L][T]^{-1}"}}, {"type":"rect","attrs":{"x":265,"y":60,"width":190,"height":120,"fill":"#f1f8e9","stroke":"#2e7d32","stroke-width":2,"rx":12}}, {"type":"text","attrs":{"x":360,"y":90,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#2e7d32","text-content":"a"}}, {"type":"text","attrs":{"x":360,"y":114,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#2e7d32","text-content":"[a]=[L][T]^{-2}"}}, {"type":"rect","attrs":{"x":470,"y":60,"width":190,"height":120,"fill":"#ffebee","stroke":"#c62828","stroke-width":2,"rx":12}}, {"type":"text","attrs":{"x":565,"y":90,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#c62828","text-content":"F"}}, {"type":"text","attrs":{"x":565,"y":114,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#c62828","text-content":"[F]=[M][L][T]^{-2}"}}, {"type":"text","attrs":{"x":360,"y":36,"text-anchor":"middle","font-size":13,"fill":"#607d8b","text-content":"Podstawowe: [L], [T], [M]"}} ] } [[/svg]] ### Zależność \(t\propto\sqrt{h/g}\) (kształt funkcji \(\sqrt{x}\)) Jeśli \(g\) jest stałe, to czas rośnie jak pierwiastek z wysokości. [[graph expr="sqrt(x)" domain="0,10" height="240"]] ### Jak powstaje pierwiastek w analizie wymiarowej (schemat) [[svg width="720" height="260" viewbox="0,0,720,260" preserveaspectratio="xMidYMid meet"]] { "version": 1, "elements": [ {"type":"rect","attrs":{"x":12,"y":12,"width":696,"height":236,"fill":"#ffffff","stroke":"#e0e0e0","stroke-width":2,"rx":12}}, {"type":"text","attrs":{"x":60,"y":70,"text-anchor":"start","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"Załóż: t \u221d h^{\u03b1} g^{\u03b2}"}}, {"type":"text","attrs":{"x":60,"y":100,"text-anchor":"start","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"[T]=[L]^\u03b1 ([L][T]^{-2})^\u03b2 = [L]^{\u03b1+\u03b2}[T]^{-2\u03b2}"}}, {"type":"text","attrs":{"x":60,"y":140,"text-anchor":"start","font-size":12,"fill":"#1565c0","text-content":"Porównaj wykładniki czasu: -2\u03b2 = 1 \u2192 \u03b2=-1/2"}}, {"type":"text","attrs":{"x":60,"y":168,"text-anchor":"start","font-size":12,"fill":"#1565c0","text-content":"Porównaj wykładniki długości: \u03b1+\u03b2 = 0 \u2192 \u03b1=1/2"}}, {"type":"text","attrs":{"x":60,"y":208,"text-anchor":"start","font-size":12,"fill":"#2e7d32","text-content":"Wniosek: t \u221d \u221a(h/g)"}} ] } [[/svg]]