# K4-D1 (P + R). Praca z danymi: wykresy, regresja liniowa i niepewność Ta lekcja łączy zakres **podstawowy i rozszerzony (P + R)**. To umiejętności, które pojawiają się w zadaniach z każdego działu. ## Cel lekcji Po tej lekcji potrafisz: - poprawnie narysować i opisać wykres (osie, jednostki, skala), - odczytać z wykresu nachylenie i punkt przecięcia, - wyznaczać parametry zależności liniowej \(y=ax+b\) (regresja liniowa — sens, nie formalizm), - oszacować niepewność pomiaru i rozumieć, jak wpływa ona na wynik. --- ## 1) Wykres jako narzędzie fizyka Wykres ma odpowiedzieć na pytania: - *jaki jest typ zależności?* (liniowa? odwrotna? wykładnicza?) - *jakie parametry mogę wyznaczyć?* Minimum poprawnego wykresu: - osie opisane nazwą wielkości i jednostką, - czytelna skala, - punkty pomiarowe, - (jeśli potrzeba) prosta najlepszego dopasowania. --- ## 2) Zależność liniowa \(y=ax+b\) Jeśli dane sugerują zależność liniową: \[ y=ax+b\] to: - \(a\) to **nachylenie** (w fizyce często stała/parametr), - \(b\) to **punkt przecięcia** z osią \(y\). Nachylenie z dwóch punktów (na prostej): \[ a=\frac{\Delta y}{\Delta x}. \] --- ## 3) Co oznacza nachylenie w fizyce? (przykłady) - Prawo Ohma: \(U=RI\). Wykres \(U(I)\) ma nachylenie \(R\). - Ruch jednostajny: \(x=vt+x_0\). Wykres \(x(t)\) ma nachylenie \(v\). - Fotoefekt: \(eU_h=hf-W_0\). Wykres \(U_h(f)\) ma nachylenie \(h/e\). Wniosek: nachylenie to często „ukryta stała”, o którą pytają w zadaniu. --- ## 4) Regresja liniowa — idea (bez wzorów) Gdy punkty nie leżą idealnie na jednej prostej, rysuje się prostą „najlepiej pasującą”. W praktyce maturalnej często wystarczy: - poprowadzić prostą trendu, - dobrać dwa odległe punkty na tej prostej, - policzyć \(a\) jako \(\Delta y/\Delta x\). --- ## 5) Niepewność — co to znaczy? Niepewność opisuje, jak bardzo może się różnić wynik od wartości „prawdziwej”. W liceum najczęściej spotkasz: - niepewność odczytu (np. połowa działki), - niepewność wynikającą z rozrzutu serii pomiarów. Bardzo prosty model: - jeśli mierzysz wielokrotnie i liczysz średnią \(\bar{x}\), to rozrzut mówi o stabilności pomiaru. --- ## 6) Jak niepewność wpływa na wykres i parametry? Jeśli punkty mają niepewność, to nachylenie \(a\) też ma niepewność. W praktyce: - duży rozrzut → większa niepewność \(a\), - punkty „w miarę w linii” → \(a\) jest pewniejsze. Na maturze często chodzi o to, żeby umieć oszacować, czy wynik jest sensowny i czy niepewności nie są większe niż efekt. --- ## Najczęstsze błędy 1) Brak jednostek na osi. 2) Liczenie nachylenia z dwóch punktów pomiarowych zamiast z prostej trendu. 3) Zbyt krótki „odcinek” do liczenia \(\Delta y/\Delta x\) (błąd względny rośnie). --- ## Ćwiczenia do samodzielnej pracy (z odpowiedziami) 1) Wykres \(U(I)\) ma nachylenie \(2\,\text{V/A}\). Jaki to opór? 2) Wykres \(x(t)\) ma nachylenie \(3\,\text{m/s}\). Co to oznacza? 3) Podaj dwa elementy, które muszą znaleźć się na poprawnym wykresie. **Odpowiedzi:** 1) \(R=2\,\Omega\). 2) Prędkość \(v=3\,\text{m/s}\). 3) Np. opisy osi z jednostkami + skala/punkty. --- ## Wizualizacje ### Punkty pomiarowe + trend liniowy (przykład: \(U(I)\) dla opornika) Punkty nie muszą leżeć idealnie na prostej — dlatego rysuje się trend i nachylenie liczy z prostej. [[canvas renderer="scatter-plot" width="720" height="320"]] { "version": 1, "data": [ {"label":"(0.5,1.1)","x":0.5,"y":1.1,"color":"#1565c0"}, {"label":"(1.0,2.0)","x":1.0,"y":2.0,"color":"#1565c0"}, {"label":"(1.5,3.2)","x":1.5,"y":3.2,"color":"#1565c0"}, {"label":"(2.0,4.1)","x":2.0,"y":4.1,"color":"#1565c0"}, {"label":"(2.5,5.0)","x":2.5,"y":5.0,"color":"#1565c0"}, {"label":"(3.0,6.2)","x":3.0,"y":6.2,"color":"#1565c0"} ], "xAxis": {"label": "I (A)"}, "yAxis": {"label": "U (V)"} } [[/canvas]] ### Nachylenie jako „stała fizyczna” ukryta w wykresie Dla modelu \(U=RI\) nachylenie prostej \(U(I)\) równa się \(R\). [[graph expr="2*x" domain="0,3.5" height="240"]] ### Jak policzyć nachylenie \(a=\Delta y/\Delta x\) (schemat) [[svg width="720" height="260" viewbox="0,0,720,260" preserveaspectratio="xMidYMid meet"]] { "version": 1, "elements": [ {"type":"rect","attrs":{"x":12,"y":12,"width":696,"height":236,"fill":"#ffffff","stroke":"#e0e0e0","stroke-width":2,"rx":12}}, {"type":"line","attrs":{"x1":90,"y1":210,"x2":650,"y2":210,"stroke":"#455a64","stroke-width":2}}, {"type":"polygon","attrs":{"points":"650,210 636,204 636,216","fill":"#455a64"}}, {"type":"text","attrs":{"x":660,"y":214,"text-anchor":"start","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"x"}}, {"type":"line","attrs":{"x1":120,"y1":230,"x2":120,"y2":50,"stroke":"#455a64","stroke-width":2}}, {"type":"polygon","attrs":{"points":"120,50 112,66 128,66","fill":"#455a64"}}, {"type":"text","attrs":{"x":106,"y":56,"text-anchor":"end","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"y"}}, {"type":"line","attrs":{"x1":160,"y1":180,"x2":580,"y2":80,"stroke":"#1565c0","stroke-width":4}}, {"type":"circle","attrs":{"cx":220,"cy":166,"r":6,"fill":"#c62828"}}, {"type":"circle","attrs":{"cx":500,"cy":96,"r":6,"fill":"#c62828"}}, {"type":"line","attrs":{"x1":220,"y1":166,"x2":500,"y2":166,"stroke":"#c62828","stroke-width":2,"stroke-dasharray":"6 6"}}, {"type":"line","attrs":{"x1":500,"y1":166,"x2":500,"y2":96,"stroke":"#c62828","stroke-width":2,"stroke-dasharray":"6 6"}}, {"type":"text","attrs":{"x":360,"y":186,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#c62828","text-content":"\u0394x"}}, {"type":"text","attrs":{"x":518,"y":132,"text-anchor":"start","font-size":12,"fill":"#c62828","text-content":"\u0394y"}}, {"type":"text","attrs":{"x":360,"y":34,"text-anchor":"middle","font-size":13,"fill":"#607d8b","text-content":"a=\u0394y/\u0394x (licz z dwóch odległych punktów na prostej trendu)"}} ] } [[/svg]]