# K4-C2 (R). Rozpad promieniotwórczy: prawo zaniku, aktywność i trudniejsze zadania Ta lekcja dotyczy **zakresu rozszerzonego (R)** i stanowi pogłębienie tematu z klasy 3. ## Cel lekcji Po tej lekcji potrafisz: - stosować prawo zaniku \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\), - powiązać stałą rozpadu \(\lambda\) z czasem połowicznym \(T_{1/2}\), - rozumieć pojęcie aktywności \(A\) i zależność \(A=\lambda N\), - rozwiązywać zadania, w których łączą się: \(N(t)\), \(A(t)\), \(T_{1/2}\) i wykresy. --- ## 1) Losowość i opis statystyczny Rozpad pojedynczego jądra jest losowy, ale duża liczba jąder zachowuje się regularnie. To dlatego możemy stosować funkcję wykładniczą. --- ## 2) Prawo zaniku (R) \[ N(t)=N_0 e^{-\lambda t}. \] Gdzie: - \(N(t)\) — liczba jąder nierozpadłych w chwili \(t\), - \(N_0\) — liczba początkowa, - \(\lambda\) — stała rozpadu (jednostka \(1/\text{s}\)). --- ## 3) Czas połowiczny rozpadu Czas połowiczny \(T_{1/2}\) to czas, po którym \(N\) spada do połowy: \[ N(T_{1/2})=\frac{N_0}{2}. \] Podstawiając do prawa zaniku: \[ \frac12 = e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}. \] To wzór, który bardzo często pojawia się w zadaniach. --- ## 4) Aktywność \(A\) (R) **Aktywność** to liczba rozpadów w jednostce czasu. \[ A=\lambda N. \] Wynika stąd, że aktywność też maleje wykładniczo: \[ A(t)=A_0 e^{-\lambda t}. \] Jednostka aktywności: bekerel \(\text{Bq}=1/\text{s}\). --- ## 5) Postać „po okresach połowicznych” Jeśli wygodniej liczyć „po połowieniach”, to: \[ N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}},\quad A(t)=A_0\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}. \] To jest szybkie w zadaniach, gdy \(t\) jest wielokrotnością \(T_{1/2}\). --- ## 6) Wykresy i liniowanie (R) Ponieważ \(N(t)\) jest wykładnicze, to: \[ \ln N = \ln N_0 - \lambda t. \] Wykres \(\ln N\) od \(t\) jest linią prostą o nachyleniu \(-\lambda\). To jest typowy motyw zadań „z wykresem”. --- ## Przykład \(T_{1/2}=3\,\text{dni}\). Po \(t=9\,\text{dni}\) mamy 3 okresy połowiczne: \[ N=\frac{N_0}{8},\quad A=\frac{A_0}{8}. \] --- ## Najczęstsze błędy 1) Traktowanie zaniku jak liniowego. 2) Mylenie \(\lambda\) z \(T_{1/2}\). 3) Wykorzystanie \(A=\Delta N/\Delta t\) bez zrozumienia, że \(A\) zmienia się w czasie. --- ## Ćwiczenia do samodzielnej pracy (z odpowiedziami) 1) Oblicz \(\lambda\), jeśli \(T_{1/2}=10\,\text{h}\). 2) Jeśli \(A_0=800\,\text{Bq}\) i \(T_{1/2}=2\,\text{h}\), to jaka jest \(A\) po 6 h? 3) (R) Co będzie liniowe: \(N(t)\) czy \(\ln N(t)\) jako funkcja \(t\)? **Odpowiedzi:** 1) \(\lambda=\ln 2/10\,\text{h}^{-1}\). 2) 3 połowienia → \(A=100\,\text{Bq}\). 3) \(\ln N(t)\). --- ## Wizualizacje ### „Połówkowanie” w kolejnych czasach połowicznych (schemat) Oś czasu jest w jednostkach \(T_{1/2}\). Słupki pokazują \(N/N_0\). [[svg width="720" height="260" viewbox="0,0,720,260" preserveaspectratio="xMidYMid meet"]] { "version": 1, "elements": [ {"type":"rect","attrs":{"x":12,"y":12,"width":696,"height":236,"fill":"#ffffff","stroke":"#e0e0e0","stroke-width":2,"rx":12}}, {"type":"line","attrs":{"x1":92,"y1":208,"x2":660,"y2":208,"stroke":"#455a64","stroke-width":2}}, {"type":"polygon","attrs":{"points":"660,208 646,202 646,214","fill":"#455a64"}}, {"type":"text","attrs":{"x":668,"y":212,"text-anchor":"start","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"t / T_{1/2}"}}, {"type":"line","attrs":{"x1":92,"y1":208,"x2":92,"y2":48,"stroke":"#455a64","stroke-width":2}}, {"type":"polygon","attrs":{"points":"92,48 84,64 100,64","fill":"#455a64"}}, {"type":"text","attrs":{"x":78,"y":52,"text-anchor":"end","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"N/N0"}}, {"type":"rect","attrs":{"x":140,"y":88,"width":72,"height":120,"fill":"#bbdefb","stroke":"#1976d2","stroke-width":2}}, {"type":"rect","attrs":{"x":260,"y":148,"width":72,"height":60,"fill":"#bbdefb","stroke":"#1976d2","stroke-width":2}}, {"type":"rect","attrs":{"x":380,"y":178,"width":72,"height":30,"fill":"#bbdefb","stroke":"#1976d2","stroke-width":2}}, {"type":"rect","attrs":{"x":500,"y":193,"width":72,"height":15,"fill":"#bbdefb","stroke":"#1976d2","stroke-width":2}}, {"type":"text","attrs":{"x":176,"y":84,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#1976d2","text-content":"1"}}, {"type":"text","attrs":{"x":296,"y":144,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#1976d2","text-content":"1/2"}}, {"type":"text","attrs":{"x":416,"y":174,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#1976d2","text-content":"1/4"}}, {"type":"text","attrs":{"x":536,"y":189,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#1976d2","text-content":"1/8"}}, {"type":"line","attrs":{"x1":176,"y1":208,"x2":176,"y2":216,"stroke":"#455a64","stroke-width":2}}, {"type":"line","attrs":{"x1":296,"y1":208,"x2":296,"y2":216,"stroke":"#455a64","stroke-width":2}}, {"type":"line","attrs":{"x1":416,"y1":208,"x2":416,"y2":216,"stroke":"#455a64","stroke-width":2}}, {"type":"line","attrs":{"x1":536,"y1":208,"x2":536,"y2":216,"stroke":"#455a64","stroke-width":2}}, {"type":"text","attrs":{"x":176,"y":236,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"0"}}, {"type":"text","attrs":{"x":296,"y":236,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"1"}}, {"type":"text","attrs":{"x":416,"y":236,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"2"}}, {"type":"text","attrs":{"x":536,"y":236,"text-anchor":"middle","font-size":12,"fill":"#455a64","text-content":"3"}} ] } [[/svg]] ### Zanik wykładniczy (znormalizowany): \(\frac{N}{N_0}=e^{-(\ln 2)\,t/T_{1/2}}\) W tym wykresie oś \(x\) to czas w jednostkach \(T_{1/2}\). [[graph expr="exp(-0.693*x)" domain="0,8" height="280"]] ### Liniowanie: \(\ln\!\left(\frac{N}{N_0}\right)=-(\ln 2)\,t/T_{1/2}\) Jeśli narysujesz \(\ln(N/N_0)\) w funkcji \(t\), dostaniesz prostą o nachyleniu \(-\lambda\). [[graph expr="-0.693*x" domain="0,8" height="260"]]