1. Mnożenie dwumianów i przekształcanie wyrażeń algebraicznych
Prostokąt o bokach x + 3 oraz x + 2 można podzielić na cztery części. Obliczenie ich pól pokaże, dlaczego przy mnożeniu dwóch sum powstają cztery iloczyny.
Po tej lekcji: Rozwiniesz iloczyn dwóch dwumianów, zredukujesz wyrazy podobne i skontrolujesz przekształcenie.
Potrzebne podstawy: Znasz mnożenie liczb ze znakami, rozdzielność mnożenia i zapis x² = x · x.
Skąd bierze się „każdy z każdym”?
Dwumian
Dwumian jest sumą algebraiczną dwóch jednomianów, np. x + 3 albo 2x − 5. W drugim zapisie składniki to 2x oraz −5: znak należy do składnika.
Rozdzielność stosujemy dwukrotnie: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd. Każdy składnik pierwszego nawiasu musi spotkać każdy składnik drugiego. To nie dodatkowa sztuczka, lecz znana reguła zastosowana do większego wyrażenia.
Rysunek pokazuje dodatnie długości; sama reguła algebraiczna obowiązuje także dla liczb ujemnych i zera. Nie interpretuj ujemnego składnika jako ujemnego pola.
Od czterech iloczynów do uporządkowanego wyniku
Rozwiń (x + 3)(x − 2)
- Wypisz składniki: x i 3 oraz x i −2.
- Cztery iloczyny: x · x = x²; x · (−2) = −2x; 3 · x = 3x; 3 · (−2) = −6.
- Dodaj je: x² − 2x + 3x − 6.
- Wyrazy −2x i 3x są podobne, więc ich suma wynosi x. Wynik: x² + x − 6.
- Sprawdź dla x = 4: (4 + 3)(4 − 2) = 14; 16 + 4 − 6 = 14. To kontrola błędu, nie dowód równości dla wszystkich x.
Współczynniki i minus przed całym iloczynem
Uprość (2x − 1)(x + 4) − (x² + 3)
- Rozwiń iloczyn: 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4.
- Odejmij cały drugi nawias: 2x² + 7x − 4 − x² − 3. Minus zmienia znak obu składników.
- Zredukuj osobno kwadraty, składniki z x i liczby: x² + 7x − 7.
- Dla x = 0 wyjściowo (−1) · 4 − 3 = −7 i wynik też wynosi −7.
Nie łącz różnych potęg
x² + x nie jest równe 2x² ani x³. Podobieństwo wyrazów wymaga tej samej części literowej. W rozwinięciu nie zawsze zostają trzy wyrazy: czasem składniki się znoszą, np. (x + 2)(x − 2) = x² − 4.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Zapisz wszystkie cztery iloczyny.
Rozwiązanie zadania 1
x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Składniki pierwszego nawiasu to x i −5.
Rozwiązanie zadania 2
x² + x − 5x − 5 = x² − 4x − 5.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Pomnóż 2x także przez −4.
Rozwiązanie zadania 3
2x² − 8x + 3x − 12 = 2x² − 5x − 12.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Na końcu zbierz wyrazy z a.
Rozwiązanie zadania 4
3a² + 21a − 2a − 14 = 3a² + 19a − 14.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Po rozwinięciu zmień oba znaki odejmowanego nawiasu.
Rozwiązanie zadania 5
x² − 4 − x² + 7 = 3. Wynik nie zależy od x.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Porównaj z czterema częściami rysunku.
Rozwiązanie zadania 6
Pominięto 2x i 3x. Poprawnie x² + 5x + 6. Dla x = 1 błędny zapis daje 7 zamiast 12.
Co warto zachować w pamięci?
Najpierw komplet iloczynów ze znakami, potem redukcja. Podstawienie liczby pomaga wychwycić błąd; poprawność ogólną uzasadniają prawa działań.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
