2. Wzory skróconego mnożenia: (a±b)^2 oraz (a-b)(a+b)
Czy kwadrat sumy to suma kwadratów? Dla 3 i 2 otrzymujesz (3 + 2)² = 25, ale 3² + 2² = 13. Brakujące 12 ma konkretne znaczenie — to dwa iloczyny 3 · 2.
Po tej lekcji: Wyprowadzisz i zastosujesz wzory na kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów.
Potrzebne podstawy: Umiesz mnożyć dwumiany i redukować wyrazy podobne.
Kwadrat sumy ma cztery części
Kwadrat sumy
(a + b)² = a² + 2ab + b². Litery a i b oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Zapis 2ab oznacza 2 · a · b.
Kwadrat to iloczyn dwóch jednakowych czynników: (a + b)(a + b). Po wymnożeniu otrzymujemy a² + ab + ba + b². Ponieważ ab = ba, dwa środkowe składniki dają 2ab.
Rozwiń (x + 5)²
- Rozpoznaj a = x, b = 5.
- Policz trzy części: a² = x², 2ab = 2 · x · 5 = 10x, b² = 25.
- Złóż wynik: x² + 10x + 25.
Co zmienia znak minus?
Dwa dalsze wzory
(a − b)² = a² − 2ab + b² oraz (a − b)(a + b) = a² − b².
W kwadracie różnicy mnożenie daje a² − ab − ab + b²: ostatni iloczyn jest dodatni. W iloczynie sumy i różnicy otrzymujemy a² + ab − ab − b². Środkowe wyrazy się znoszą, dlatego nie ma tam 2ab.
Rozwiń (3a − 2)²
- Pierwszy składnik to całe 3a, nie samo a. Jego kwadrat wynosi 9a².
- Podwojony iloczyn to 2 · 3a · 2 = 12a. Przed nim stawiamy minus.
- Kwadrat drugiego składnika wynosi 4. Otrzymujemy 9a² − 12a + 4.
Oblicz 98 · 102 bez długiego mnożenia
- Zapisz 98 = 100 − 2 oraz 102 = 100 + 2.
- Zastosuj różnicę kwadratów: 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9996.
- Warunek rozpoznania: te same dwa składniki, raz suma, raz różnica.
Wzór można czytać w obie strony
Zapisz x² − 49 jako iloczyn
- 49 = 7², więc mamy różnicę dwóch kwadratów.
- x² − 7² = (x − 7)(x + 7).
- Nie stosuj tej reguły do x² + 49: znak pomiędzy kwadratami jest istotny.
Kwadrat różnicy nie musi być ujemny
(2 − 5)² = 9. Minus w wyrażeniu −2ab nie jest minusem przed całym wynikiem. Ponadto (a − b)² i a² − b² to różne wyrażenia.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Środkowy składnik to −2 · x · 3.
Rozwiązanie zadania 1
x² − 6x + 9.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Podnieś do kwadratu cały składnik 2y.
Rozwiązanie zadania 2
4y² + 4y + 1.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Suma razy różnica.
Rozwiązanie zadania 3
a² − 16.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Rozwiń oba kwadraty; odejmij każdy składnik drugiego.
Rozwiązanie zadania 4
m² − 4m + 4 − m² − 4m − 4 = −8m.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
101 = 100 + 1.
Rozwiązanie zadania 5
10 000 + 200 + 1 = 10 201.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
To (2x)² − 5².
Rozwiązanie zadania 6
(2x − 5)(2x + 5).
Co warto zachować w pamięci?
Rozpoznaj całe składniki wzoru. W kwadracie sumy lub różnicy nie pomijaj podwojonego iloczynu; w różnicy kwadratów środkowe wyrazy się znoszą.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
