3. Równania I stopnia: równania równoważne i równania po przekształceniach

Równanie jest pytaniem o liczbę, dla której dwa wyrażenia mają tę samą wartość. Rozwiązywanie nie polega na zgadywaniu: przekształcamy pytanie, zachowując zbiór jego odpowiedzi.

Po tej lekcji: Rozwiążesz równania z nawiasami i ułamkami, sprawdzisz wynik oraz rozpoznasz brak lub nieskończenie wiele rozwiązań.

Potrzebne podstawy: Umiesz upraszczać wyrażenia i wykonywać działania na ułamkach oraz liczbach ujemnych.

Co wolno zmienić?

Rozwiązanie i równoważność

Rozwiązaniem równania jest liczba, która po podstawieniu daje prawdziwą równość. Równania równoważne mają dokładnie te same rozwiązania. Równanie I stopnia z jedną niewiadomą można sprowadzić do ax + b = 0, gdzie a ≠ 0.

Można dodać lub odjąć po obu stronach to samo wyrażenie, uprościć obie strony i pomnożyć lub podzielić je przez tę samą niezerową liczbę. Nie dziel przez niewiadomą bez sprawdzenia, czy nie jest zerem. Mnożenie przez zero niszczy informację: z x = 3 zrobiłoby się 0 = 0.

Popularne „przeniesienie na drugą stronę” jest skrótem odejmowania lub dodawania tej samej wielkości po obu stronach. Znak zmienia się z tego powodu, a nie dlatego, że wyraz przekracza znak równości.

Najpierw uporządkuj nawiasy

Rozwiąż 3(2x − 1) − 4 = x + 7

1. Rozwiń lewy nawias: 6x − 3 − 4 = x + 7.
2. Zredukuj liczby: 6x − 7 = x + 7. Odejmij x po obu stronach: 5x − 7 = 7.
3. Dodaj 7 po obu stronach: 5x = 14. Podziel przez 5: x = 14/5 = 2,8.
4. Kontrola w równaniu początkowym: lewa strona 3 · (5,6 − 1) − 4 = 9,8; prawa 2,8 + 7 = 9,8.

Usuń mianowniki całym działaniem

Rozwiąż (x − 1)/3 + x/2 = 3

1. Wspólną wielokrotnością mianowników 3 i 2 jest 6. Pomnóż każdy składnik obu stron przez 6.
2. Otrzymujesz 2(x − 1) + 3x = 18. Mnożenie dotyczy również liczby 3 po prawej.
3. 2x − 2 + 3x = 18, więc 5x = 20 i x = 4.
4. Sprawdzenie: (4 − 1)/3 + 4/2 = 1 + 2 = 3.

Gdy niewiadoma znika

Porównaj dwa przypadki

1. 2(x + 1) = 2x + 2 prowadzi do 2 = 2. Każda liczba rzeczywista spełnia równanie: nieskończenie wiele rozwiązań.
2. 2(x + 1) = 2x + 5 prowadzi do 2 = 5. Żadna liczba tego nie naprawi: brak rozwiązań.
3. Takie równania po uproszczeniu nie są postaci ax + b = 0 z a ≠ 0. Nie wyciągamy wniosku x = 0 tylko dlatego, że zniknęło x.

Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi

Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Co warto zachować w pamięci?

Każdy krok wykonuj po obu stronach. Po uzyskaniu liczby podstaw ją do równania początkowego; po zniknięciu niewiadomej oceń prawdziwość pozostałej równości.

Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.