4. Zadania tekstowe rozwiązywane równaniami I stopnia
W zdaniu „trzy zeszyty i długopis kosztują 29 zł” znak równości jest ukryty w słowie „kosztują”. Dobre równanie opisuje tę samą wielkość na dwa sposoby: sumą cen oraz znaną kwotą.
Po tej lekcji: Zbudujesz równanie z opisu, rozwiążesz je i ocenisz wynik w warunkach zadania.
Potrzebne podstawy: Potrafisz rozwiązywać równania I stopnia; znasz obwód prostokąta i procent liczby.
Niewiadoma potrzebuje znaczenia
Model matematyczny
Wybierz jedną niewiadomą, zapisz co oznacza i w jakiej jednostce ją liczysz. Pozostałe wielkości wyraź za jej pomocą. Równanie połączy wyrażenia opisujące tę samą wielkość.
Cena może być ułamkiem złotego, ale liczba osób musi być całkowita i nieujemna. Bok figury ma być dodatni. Ograniczenia zapisujemy przed rachunkiem, a po obliczeniu sprawdzamy je ponownie. Sam poprawny rachunek nie gwarantuje sensu odpowiedzi.
Ile kosztuje zeszyt?
- Przyjmij x — cena jednego zeszytu w złotych, x > 0. Długopis kosztuje 5 zł.
- Trzy zeszyty kosztują 3x zł. Z treści: 3x + 5 = 29.
- Odejmij 5: 3x = 24. Podziel przez 3: x = 8.
- Kontrola w treści: trzy zeszyty po 8 zł i długopis za 5 zł kosztują 24 + 5 = 29 zł. Zeszyt kosztuje 8 zł.
„O więcej” a „razy tyle”
Jeżeli krótszy bok ma x cm, bok o 6 cm dłuższy ma x + 6 cm. Bok trzy razy tak długi miałby 3x cm. Nie myl dodawania ze zwielokrotnianiem. Dwie kolejne liczby naturalne to x oraz x + 1, nie x oraz 2x.
Prostokąt: obwód 54 cm, różnica boków 6 cm
- Nazwij krótszy bok x cm, dłuższy (x + 6) cm.
- Obwód obejmuje po dwa boki każdej długości: 2x + 2(x + 6) = 54.
- 4x + 12 = 54, więc 4x = 42 i x = 10,5.
- Dłuższy bok: 10,5 + 6 = 16,5 cm. Kontrola: 2 · 10,5 + 2 · 16,5 = 54 cm. Ułamkowa długość jest dopuszczalna.
Procent odnosi się do wskazanej podstawy
Po obniżce o 20% cena wynosi 96 zł. Jaka była wcześniej?
- Niech x oznacza cenę przed obniżką. To ona jest podstawą 100%.
- Po obniżce pozostaje 80% ceny: 0,8x = 96.
- Dzielimy przez 0,8: x = 120 zł.
- Sprawdzenie: 20% z 120 zł to 24 zł; 120 − 24 = 96 zł. Dodanie 20% do 96 nie odtwarza ceny, bo używa innej podstawy.
Odpowiadaj na pytanie, nie tylko podawaj x
Jeśli x jest liczbą chłopców, a pytanie dotyczy dziewcząt, potrzebny jest jeszcze krok. Na końcu przeczytaj pytanie ponownie i sprawdź wszystkie warunki, nie tylko sumę.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Użyj x i x + 1.
Rozwiązanie zadania 1
x + x + 1 = 57; 2x = 56, x = 28. Liczby 28 i 29 są kolejne, a ich suma to 57.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Niech x będzie liczbą chłopców.
Rozwiązanie zadania 2
x + x + 4 = 26; x = 11. Dziewcząt jest 15; 11 + 15 = 26 i 15 − 11 = 4.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Opłatę dolicza się raz.
Rozwiązanie zadania 3
2x + 6 = 40, więc x = 17 zł. 34 + 6 = 40.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Boki: x i 3x.
Rozwiązanie zadania 4
2x + 6x = 40, x = 5. Boki 5 cm i 15 cm; obwód 40 cm.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Pozostało 75% pierwotnej ceny.
Rozwiązanie zadania 5
0,75x = 90, x = 120 zł. Rabat 30 zł daje cenę 90 zł.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Sprawdź, czy x z równania jest naturalne.
Rozwiązanie zadania 6
2x + 1 = 20 daje x = 9,5. To nie liczba naturalna, więc brak takiej pary.
Co warto zachować w pamięci?
Nazwij niewiadomą, zbuduj zależność, rozwiąż i wróć do treści. Warunki całkowitości, dodatniości i podstawa procentu są częścią rozwiązania.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
