5. Przekształcanie wzorów: wyznaczanie zmiennej
Wzór na pole prostokąta P = ab zwykle służy do obliczania pola. Gdy znasz pole i jeden bok, ta sama zależność pozwala znaleźć drugi bok. Nie potrzebujesz nowego prawa — wystarczy przekształcić znane.
Po tej lekcji: Wyznaczysz wskazaną zmienną ze wzoru, podasz warunki dzielenia i zastosujesz nową postać wzoru.
Potrzebne podstawy: Umiesz wykonywać równoważne przekształcenia równań; znasz pole prostokąta i trójkąta.
Szukana litera ma zostać sama
Wyznaczanie zmiennej
Wyznaczyć zmienną to zapisać ją po jednej stronie równości bez innych składników i mnożników, np. a = P/b. Pozostałe litery traktujemy jako dane, ale pilnujemy warunków: mianownik nie może być zerem.
Litery nie określają działań na stałe. Jeśli we wzorze od szukanej wielkości coś odjęto, dodaj to po obu stronach. Jeśli ją pomnożono przez niezerową wielkość, podziel przez tę wielkość. Kolejne działania odwracaj w odwrotnej kolejności.
Wyznacz x i oblicz je dla y = 8
- We wzorze y = 3x − 7 najpierw usuwamy −7, potem mnożnik 3.
- Po dodaniu 7 otrzymujemy y + 7 = 3x. Dzielimy obie strony przez 3: x = (y + 7)/3.
- Dla y = 8: x = 15/3 = 5. Sprawdzenie: 3 · 5 − 7 = 8.
- Nawias jest konieczny: dzielimy całą sumę y + 7, a nie tylko 7.
Litera w mianowniku
Z v = s/t wyznacz s oraz t
- s oznacza drogę, t czas, v prędkość przy ruchu jednostajnym. Przyjmij s > 0, t > 0, a więc v > 0.
- Pomnóż obie strony przez t: vt = s, czyli s = vt.
- Z vt = s podziel przez v: t = s/v. Dzielenie jest możliwe, bo v > 0.
- Dla s = 150 km i v = 60 km/h: t = 150/60 h = 2,5 h, czyli 2 h 30 min. Kontrola: 60 · 2,5 = 150.
Wzór t = s/v nie pozwala dzielić przez v = 0. Założenie nie jest drobnym dopiskiem — określa, kiedy nowy zapis ma sens. Jednostki muszą pasować: kilometry i km/h dają godziny, nie minuty.
Pole jako równanie
Z P = ah/2 wyznacz wysokość h
- P jest polem trójkąta, a dodatnią długością podstawy, h wysokością do tej podstawy.
- Pomnóż obie strony przez 2: 2P = ah.
- Podziel przez a > 0: h = 2P/a.
- Dla P = 30 cm², a = 12 cm otrzymasz h = 60/12 = 5 cm. Sprawdzenie: 12 · 5/2 = 30 cm².
Z P = ab wyznacz b
- Dzielimy obie strony przez a > 0: P/a = b.
- Dla P = 48 cm² i a = 8 cm: b = 6 cm. Iloczyn 8 · 6 odtwarza pole 48 cm².
Sprawdzenie chroni przed pozornym skrótem
Z y = 3x − 7 nie wynika x = y/3 + 7. Dla y = 8 ten błędny zapis nie daje 5. Zawsze podstaw uzyskaną wartość do pierwotnego wzoru.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Podziel przez cały mnożnik 2π.
Rozwiązanie zadania 1
r = C/(2π). Mianownik jest niezerowy.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Pomnóż przez 2, potem podziel przez h.
Rozwiązanie zadania 2
a = 2P/h.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Odejmij 4 po obu stronach.
Rozwiązanie zadania 3
x = (y − 4)/5. Dla y = 19: x = 3; 5 · 3 + 4 = 19.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
ρ (ro) oznacza gęstość, m masę, V objętość.
Rozwiązanie zadania 4
V = m/ρ; warunek ρ > 0 pozwala dzielić.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
t = s/v.
Rozwiązanie zadania 5
t = 84/24 h = 3,5 h = 3 h 30 min. Kontrola: 24 · 3,5 = 84.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Najpierw odejmij 2a.
Rozwiązanie zadania 6
2b = L − 2a; b = (L − 2a)/2 = L/2 − a. Dla boków prostokąta wynik musi być dodatni.
Co warto zachować w pamięci?
Wzór przekształcaj jak równanie. Zachowuj nawiasy, sprawdzaj niezerowość dzielnika i kontroluj jednostki.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
