6. Wielokąty (także foremne) i pola: wyznaczanie długości odcinków
Pole informuje, ile powierzchni zajmuje figura. W połączeniu ze znaną podstawą pozwala też odzyskać wysokość. Najważniejsze jest poprawne wskazanie pary: podstawa i wysokość opuszczona właśnie na nią.
Po tej lekcji: Obliczysz brakującą długość z pola figury oraz pole sześciokąta foremnego przez podział na trójkąty.
Potrzebne podstawy: Znasz wzory na pola prostych figur, pierwiastki i twierdzenie Pitagorasa.
Wysokość mierzymy prostopadle
Podstawa i wysokość
Wysokość trójkąta to odcinek prostopadły od wierzchołka do prostej zawierającej przeciwległy bok. W równoległoboku i trapezie wysokość mierzy prostopadłą odległość między prostymi zawierającymi równoległe podstawy.
| Figura | Pole P | Odzyskana długość |
|---|---|---|
| Prostokąt, boki a i b | P = ab | b = P/a |
| Równoległobok, podstawa a | P = ah | h = P/a |
| Trójkąt, podstawa a | P = ah/2 | h = 2P/a |
| Trapez, podstawy a i b | P = (a + b)h/2 | h = 2P/(a + b) |
Długości w tabeli są dodatnie, więc dzielniki są niezerowe. Pamiętaj, że skośne ramię trapezu zazwyczaj nie jest jego wysokością. Przed podstawieniem wyraź długości w jednej jednostce.
Trapez: a = 10 cm, b = 6 cm, P = 64 cm²
- Zapisz równanie 64 = (10 + 6)h/2.
- Suma podstaw wynosi 16 cm, połowa sumy 8 cm; zatem 64 = 8h.
- Dzielimy przez 8: h = 8 cm.
- Sprawdzenie: (10 + 6) · 8/2 = 64 cm². Wynikiem jest długość w cm, nie pole w cm².
Dobierz wzór do figury
Trójkąt ma P = 30 cm² i h = 5 cm. Oblicz podstawę
- Z P = ah/2 wyznacz a = 2P/h.
- a = 2 · 30/5 = 12 cm. Nie dziel samego pola przez wysokość — to dałoby połowę podstawy.
- Sprawdzenie: połowa iloczynu 12 · 5 wynosi 30.
Figura foremna daje równe części
Wielokąt foremny
Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty wewnętrzne równe. Sam warunek równych boków nie wystarcza: romb niebędący kwadratem nie jest foremny.
Sześciokąt foremny po połączeniu środka z wierzchołkami dzieli się na sześć trójkątów równobocznych. Każdy kąt przy środku ma 360°/6 = 60°, a promienie są równe, więc pozostałe kąty też mają po 60°.
Pole sześciokąta foremnego o boku 4 cm
- Wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę 4 cm na części po 2 cm.
- Z Pitagorasa: h² = 4² − 2² = 12, więc h = 2√3 cm.
- Pole jednego trójkąta: 4 · 2√3/2 = 4√3 cm².
- Cały sześciokąt: 6 · 4√3 = 24√3 cm². Obwód wynosi osobno 6 · 4 = 24 cm.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
P = ah.
Rozwiązanie zadania 1
h = 54/9 = 6 cm.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Podziel pole przez znany bok.
Rozwiązanie zadania 2
96/12 = 8 cm.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Dodaj podstawy przed mnożeniem.
Rozwiązanie zadania 3
P = 22 · 6/2 = 66 cm².
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
h = 2P/a.
Rozwiązanie zadania 4
h = 84/12 = 7 cm.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Wysokość jednego trójkąta: √(2² − 1²).
Rozwiązanie zadania 5
h = √3 cm; pole trójkąta √3 cm²; całego sześciokąta 6√3 cm².
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Sprawdź oba warunki definicji.
Rozwiązanie zadania 6
Nie. Równe boki nie gwarantują równych kątów. Foremnym rombem jest kwadrat.
Co warto zachować w pamięci?
Wybierz figurę i właściwą wysokość. Z pola odzyskuj długość przekształceniem wzoru. Wielokąt foremny można dzielić na równe, prostsze części.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
