7. Okrąg: długość okręgu i pole koła
Do obszycia okrągłej serwety potrzeba długości jej brzegu. Do zakupu tkaniny — pola powierzchni. Ten sam przedmiot prowadzi więc do dwóch różnych pytań i dwóch różnych jednostek.
Po tej lekcji: Rozróżnisz długość okręgu i pole koła, obliczysz je z promienia lub średnicy oraz odzyskasz promień.
Potrzebne podstawy: Znasz potęgi, pierwiastki, przekształcanie wzorów i jednostki pola.
Brzeg i wnętrze
Okrąg, koło, promień i średnica
Okrąg jest zbiorem punktów płaszczyzny w odległości r od środka O. Koło obejmuje ten brzeg i jego wnętrze. Promień r > 0 łączy środek z okręgiem, średnica d przechodzi przez środek i łączy dwa punkty okręgu. Zatem d = 2r.
Liczba π (pi) jest stałym stosunkiem długości okręgu do średnicy. Jej rozwinięcie dziesiętne się nie kończy; 3,14 to tylko przybliżenie. Zapis z π zachowuje wartość dokładną.
Dwa wzory odpowiadają na dwa pytania
Długość i pole
Długość okręgu: C = 2πr = πd. Pole koła: P = πr². C podajemy np. w cm, P w cm². Litery C i P oznaczają tutaj różne wielkości.
Serweta ma średnicę 10 cm. Oblicz długość brzegu i pole
- Najpierw promień: r = 10/2 = 5 cm.
- Brzeg: C = 2π · 5 = 10π cm. Przy π ≈ 3,14: C ≈ 31,4 cm.
- Powierzchnia: P = π · 5² = 25π cm² ≈ 78,5 cm².
- Sprawdź podstawienie: do wzoru na pole wstawiamy 5, nie 10. Użycie średnicy jako promienia dałoby czterokrotnie za duże pole.
Gdy znasz wynik, odzyskaj promień
Okrąg ma długość 20π cm
- Z C = 2πr dzielimy przez 2π: r = C/(2π).
- r = 20π/(2π) = 10 cm. Stała π skraca się.
- Kontrola: 2π · 10 = 20π cm.
Koło ma pole 49π cm²
- 49π = πr². Dzielimy przez π: r² = 49.
- Długość promienia jest dodatnia, więc r = 7 cm, a nie −7 cm.
- Kontrola: π · 7² = 49π cm². Średnica wynosi 14 cm.
Powiększenie nie zmienia wszystkiego tak samo
Jeśli promień wzrośnie z r do 2r, długość zmieni się z 2πr na 4πr — będzie dwa razy większa. Pole zmieni się z πr² na π(2r)² = 4πr² — będzie cztery razy większe.
Zaokrąglaj świadomie
Jeśli polecenie wymaga wyniku dokładnego, zostaw π. Jeśli podaje π ≈ 3,14, użyj tego przybliżenia. Przy porównywaniu figur można często skrócić π bez liczenia jego rozwinięcia.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
C = 2πr.
Rozwiązanie zadania 1
C = 14π cm ≈ 43,96 cm.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Podnieś promień do kwadratu.
Rozwiązanie zadania 2
P = 9π cm².
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Promień to 4 m.
Rozwiązanie zadania 3
C = 8π m; P = 16π m².
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Podziel przez π i spierwiastkuj.
Rozwiązanie zadania 4
r² = 81; r = 9 cm, bo długość jest dodatnia.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Najpierw odzyskaj r.
Rozwiązanie zadania 5
r = 12π/(2π) = 6 cm; P = 36π cm².
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Wstaw 3r do obu wzorów.
Rozwiązanie zadania 6
C wzrośnie 3 razy, P wzrośnie 9 razy, bo (3r)² = 9r².
Co warto zachować w pamięci?
Okrąg mierzymy długością, koło polem. Najpierw ustal promień, potem wzór i jednostkę. Dokładność wyniku z π jest większa niż jego zaokrąglenia.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
