14. Prawdopodobieństwo w prostych doświadczeniach losowych

W pudełku są trzy czerwone i pięć niebieskich kulek. Istnieją dwa kolory, ale nie mają równych szans. Do poprawnego rachunku potrzebujesz wyników elementarnych — w tym przykładzie pojedynczych kulek.

Po tej lekcji: Obliczysz prawdopodobieństwo przy jednakowo możliwych wynikach, rozpoznasz zdarzenie pewne i niemożliwe oraz zastosujesz zdarzenie przeciwne.

Potrzebne podstawy: Znasz ułamki, zliczanie przypadków i kolejność wyników doświadczenia dwuetapowego.

Najpierw ustal model losowania

Doświadczenie, wynik, zdarzenie

Doświadczenie losowe ma wynik, którego nie znamy przed wykonaniem. Zdarzenie to zbiór wyników spełniających wskazany warunek. Przy rzucie kostką zdarzenie „liczba większa niż 4” obejmuje wyniki 5 i 6.

Reguła klasyczna

Jeśli skończony zbiór wyników elementarnych zawiera n jednakowo możliwych wyników, a k z nich sprzyja zdarzeniu A, to P(A) = k/n. P oznacza prawdopodobieństwo, nie pole figury. Zawsze 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Zakładamy uczciwą kostkę i uczciwą monetę. Przy kulkach zakładamy, że są jednakowe poza kolorem, dobrze wymieszane i każda ma tę samą szansę wyjęcia. Bez takich założeń samo policzenie wyników może nie wystarczyć.

Rzut kostką: wynik większy niż 4

1. Wszystkie wyniki: 1, 2, 3, 4, 5, 6 — sześć jednakowo możliwych.
2. Sprzyjające: 5, 6 — dwa.
3. P(A) = 2/6 = 1/3. To nie oznacza, że w każdych trzech rzutach zdarzenie nastąpi dokładnie raz.

Kolory nie są równolicznymi wynikami

3 czerwone i 5 niebieskich kulek; losujemy jedną

1. Umownie ponumeruj kulki C1, C2, C3, N1, N2, N3, N4, N5. Mamy 8 jednakowo możliwych wyników.
2. Czerwonej sprzyjają trzy: P(czerwona) = 3/8.
3. Niebieskiej sprzyja pięć: P(niebieska) = 5/8. Nie otrzymujemy 1/2 tylko dlatego, że kolory są dwa.
4. Suma 3/8 + 5/8 = 1: wszystkie kulki należą do jednej z tych rozłącznych kategorii.

Pewne, niemożliwe, przeciwne

Trzy użyteczne sytuacje

Zdarzenie pewne obejmuje wszystkie wyniki: P = 1. Niemożliwe nie obejmuje żadnego: P = 0. Zdarzenie przeciwne do A obejmuje dokładnie wyniki, które nie należą do A; jego prawdopodobieństwo wynosi 1 − P(A).

Dla zwykłej kostki „wynik mniejszy niż 7” jest pewny, a „wynik 8” niemożliwy. Przeciwieństwem „więcej niż 4” jest „nie więcej niż 4”, czyli wyniki 1–4. Wynik 4 trzeba uwzględnić.

Dwa niezależne rzuty uczciwą monetą: co najmniej jeden orzeł

1. Jednakowo możliwe uporządkowane wyniki: OO, OR, RO, RR. Niezależność znaczy, że pierwszy rzut nie zmienia szans drugiego.
2. Sprzyjają OO, OR, RO: P = 3/4. Sformułowanie „co najmniej jeden” dopuszcza dwa orły.
3. Drugą drogą: zdarzenie przeciwne to brak orła, czyli RR, o prawdopodobieństwie 1/4. Zatem 1 − 1/4 = 3/4.
4. Nie traktuj „dwa orły”, „jeden orzeł”, „zero orłów” jako trzech równych szans: środkowa kategoria zawiera dwa wyniki.

Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi

Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Co warto zachować w pamięci?

Zanim podzielisz liczby przypadków, sprawdź ich jednakowe szanse. Zdarzenie przeciwne obejmuje wszystkie i tylko niesprzyjające wyniki. Prawdopodobieństwo nie gwarantuje wyniku krótkiej serii prób.

Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.