13. Kombinatoryka: zliczanie przypadków (tabela i drzewko)
Dwa napoje i trzy rodzaje kanapek nie dają pięciu zestawów. Każdy napój można połączyć z każdą kanapką. Musimy policzyć pary wyborów, nie pojedyncze produkty.
Po tej lekcji: Policzysz przypadki tabelą lub drzewkiem i zastosujesz regułę mnożenia, uwzględniając kolejność oraz powtórzenia.
Potrzebne podstawy: Umiesz systematycznie wypisywać elementy zbioru i mnożyć liczby naturalne.
Jeden zestaw — jedno pole tabeli
Systematyczne zliczanie
Ustal, co nazywasz jednym wynikiem. Wypisz wszystkie dopuszczalne przypadki tak, aby żadnego nie pominąć i żadnego nie policzyć dwa razy. Tabela jest szczególnie wygodna dla dwóch etapów wyboru.
| Napój / kanapka | Ser | Szynka | Dżem |
|---|---|---|---|
| Woda | Woda + ser | Woda + szynka | Woda + dżem |
| Sok | Sok + ser | Sok + szynka | Sok + dżem |
Ile różnych zestawów można kupić?
- Zestaw zawiera dokładnie jeden napój i jedną kanapkę. Wszystkie połączenia są dozwolone.
- Dla wody są 3 możliwości. Dla soku również 3.
- Łącznie 3 + 3 = 6 zestawów, czyli 2 · 3 = 6.
- Gdyby sok z dżemem był niedostępny, tabela miałaby jedno wykluczone pole: 6 − 1 = 5 zestawów. Warunki mogą zmienić rachunek.
Drzewko rozdziela kolejne decyzje
Reguła mnożenia
Jeśli pierwszy etap ma m możliwości, a po każdej z nich drugi etap ma n możliwości, to par wyborów jest m · n. Dla kolejnych etapów mnożymy dalej, jeżeli liczba dostępnych możliwości na danym etapie jest taka sama po każdej wcześniejszej ścieżce.
Dwuliterowe kody z A i B, powtórzenia dozwolone
- Pierwsza litera: A albo B — 2 wybory.
- Po każdej pierwszej literze druga też może być A albo B — 2 wybory.
- Końce drzewka: AA, AB, BA, BB; łącznie 2 · 2 = 4.
- AB i BA są różnymi kodami: kolejność liter ma znaczenie. Liczymy kompletne ścieżki, nie wszystkie węzły drzewka.
Powtórzenia i zero na początku
Liczby dwucyfrowe z cyfr 0, 1, 2 bez powtórzeń
- Na miejscu dziesiątek nie wolno postawić zera, więc są 2 wybory: 1 albo 2.
- Po wyborze pierwszej cyfry zostają 2 cyfry na miejsce jedności, w tym zero.
- Zliczenie: 2 · 2 = 4. Lista kontrolna: 10, 12, 20, 21.
- Gdyby to były dwuznakowe kody, kod 01 byłby dopuszczalny. Słowo „liczba” zmienia warunek początkowej cyfry.
Czy kolejność rzeczywiście ma znaczenie?
Wybierz dwie osoby z A, B, C do tej samej roli
- Bez rozróżnienia ról pary AB i BA oznaczają ten sam skład.
- Możliwe składy to AB, AC, BC — trzy, nie sześć.
- Gdy wybierasz przewodniczącego i zastępcę, role są różne. Wtedy 3 wybory pierwszej osoby i 2 drugiej dają 6 obsad.
Nie mnoż bez sprawdzenia warunków
Jeżeli po różnych pierwszych wyborach pozostają różne liczby możliwości, policz je oddzielnie i dodaj. Ograniczenie „bez powtórzeń” trzeba stosować na każdym etapie.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Każda bluzka pasuje do obu par.
Rozwiązanie zadania 1
A1, A2, B1, B2, C1, C2: 3 · 2 = 6.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Zachowaj kolejność rzutów.
Rozwiązanie zadania 2
OO, OR, RO, RR — 4 wyniki.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Na każdym z trzech miejsc są 2 wybory.
Rozwiązanie zadania 3
2 · 2 · 2 = 8: AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
3 wybory dziesiątek i 2 jedności.
Rozwiązanie zadania 4
6: 12, 13, 21, 23, 31, 32.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Zero nie może być pierwsze, ale może być drugie.
Rozwiązanie zadania 5
2 · 3 = 6: 10, 11, 12, 20, 21, 22.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Role są rozróżnialne.
Rozwiązanie zadania 6
4 · 3 = 12. Wybór odwrotnej kolejności osób zamienia role, więc daje inną obsadę.
Co warto zachować w pamięci?
Zdefiniuj wynik, ustal znaczenie kolejności i zgodę na powtórzenia. Tabela lub końce drzewka pozwalają skontrolować regułę mnożenia.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
