12. Graniastosłupy i ostrosłupy: pola i objętości w zadaniach
Pudełko można napełnić albo okleić. Ilość miejsca w środku opisuje objętość, a ilość kartonu — pole powierzchni. Pola ścian najłatwiej zrozumieć po rozłożeniu bryły na siatkę.
Po tej lekcji: Obliczysz objętość i pole powierzchni graniastosłupa oraz ostrosłupa, rozróżniając wysokość bryły i ściany.
Potrzebne podstawy: Znasz pola figur, twierdzenie Pitagorasa i jednostki długości, pola i objętości.
Co jest podstawą, a co wysokością?
Dwie rodziny brył
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy w równoległych płaszczyznach; ściany boczne są równoległobokami. W graniastosłupie prostym są prostokątami. Ostrosłup ma jedną podstawę i trójkątne ściany boczne ze wspólnym wierzchołkiem. Wysokość H mierzy odległość prostopadłą między podstawami albo od wierzchołka do płaszczyzny podstawy.
Objętość V
Graniastosłup: V = PₚH. Ostrosłup: V = PₚH/3. Pₚ to pole jednej podstawy. Przy równych polach podstaw i równych wysokościach ostrosłup ma jedną trzecią objętości graniastosłupa.
Iloczyn pola podstawy i wysokości odpowiada układaniu jednakowych warstw. Czynnik 1/3 dla ostrosłupa jest własnością tych brył, nie zależy od liczby boków podstawy. Objętość zapisujemy np. w cm³; 1 dm³ = 1000 cm³ = 1 litr.
Siatka liczy każdą ścianę raz
Graniastosłup prosty: podstawa kwadrat 4 cm, wysokość 6 cm
- Pole jednej podstawy Pₚ = 4² = 16 cm². Objętość V = 16 · 6 = 96 cm³.
- Każda z czterech ścian bocznych ma pole 4 · 6 = 24 cm². Pole boczne Pb = 4 · 24 = 96 cm².
- Pole całkowite Pc = 2Pₚ + Pb = 32 + 96 = 128 cm².
- Liczby 96 dla objętości i pola bocznego są tu przypadkowo takie same. Jednostki i znaczenie pozostają różne.
Dla graniastosłupa prostego pole boczne to obwód podstawy razy H, bo prostokąty tworzą pas. Nie przenoś tej reguły automatycznie na graniastosłup pochyły.
Ostrosłup: dwie różne wysokości
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: bok podstawy 6 cm, H = 4 cm
- „Prawidłowy” oznacza tu kwadratową podstawę i wierzchołek nad jej środkiem. Pole podstawy wynosi 36 cm².
- Objętość: V = 36 · 4/3 = 48 cm³.
- Wysokość l trójkątnej ściany biegnie do środka boku podstawy. Od środka kwadratu do środka boku są 3 cm.
- Z Pitagorasa l² = 4² + 3² = 25, więc l = 5 cm. To nie wysokość H = 4 cm.
- Pole jednej ściany: 6 · 5/2 = 15 cm². Cztery ściany: 60 cm². Pole całkowite: 36 + 60 = 96 cm².
Dobierz wysokość do wzoru
Do objętości wstaw H — prostopadłą do podstawy. Do pola trójkątnej ściany wstaw jej wysokość l. Krawędź boczna zazwyczaj nie jest żadną z nich.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Uwzględnij czynnik 1/3.
Rozwiązanie zadania 1
V = 36 · 9/3 = 108 cm³.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
H = V/Pₚ.
Rozwiązanie zadania 2
H = 120/15 = 8 cm.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Trzy pary ścian: 2×3, 2×4, 3×4.
Rozwiązanie zadania 3
V = 24 cm³. Pc = 2(6 + 8 + 12) = 52 cm².
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Połowa boku to 4 cm; l² = 3² + 4².
Rozwiązanie zadania 4
l = 5 cm. Pₚ = 64 cm², cztery ściany po 8 · 5/2 = 20 cm². Pc = 144 cm².
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Użyj H = 3, nie l = 5.
Rozwiązanie zadania 5
V = 64 · 3/3 = 64 cm³.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
1000 cm³ to 1 dm³.
Rozwiązanie zadania 6
2500/1000 = 2,5 dm³ = 2,5 l.
Co warto zachować w pamięci?
Pole liczy powierzchnie ścian; objętość liczy przestrzeń. Podstawy licz dwa razy w graniastosłupie, raz w ostrosłupie. Wysokość bryły musi być prostopadła do podstawy.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
