11. Symetrie: symetralna odcinka i dwusieczna kąta
Gdzie ustawić punkt, aby był jednakowo odległy od dwóch wejść? A gdzie, aby był jednakowo odległy od dwóch ścian tworzących kąt? Te pytania prowadzą do dwóch różnych konstrukcji.
Po tej lekcji: Rozróżnisz symetralną i dwusieczną, wykonasz ich konstrukcje i zastosujesz własności równych odległości.
Potrzebne podstawy: Znasz środek odcinka, prostopadłość, kąty i używanie cyrkla.
Równa odległość od dwóch punktów
Symetralna odcinka
Symetralna odcinka AB, gdzie A ≠ B, jest prostą prostopadłą do AB i przechodzącą przez jego środek M. Każdy jej punkt P spełnia PA = PB. Odwrotnie: każdy punkt równoodległy od A i B leży na symetralnej.
Dlaczego odległości są równe? Trójkąty prostokątne PMA i PMB mają wspólny bok PM oraz AM = BM. Z Pitagorasa PA² = PM² + AM² i PB² = PM² + BM², więc dodatnie długości PA i PB są równe.
Konstrukcja cyrklem i linijką
- Narysuj AB. Ustaw promień cyrkla większy niż połowa długości AB.
- Tym samym promieniem narysuj łuki ze środka A i ze środka B, tak aby przecięły się po obu stronach odcinka. Nazwij przecięcia U i V.
- Poprowadź prostą UV. Oba punkty są równoodległe od A i B, bo użyto jednego promienia, zatem UV jest symetralną.
- Sprawdź: przecięcie z AB dzieli go na połowy, a kąt między prostymi wynosi 90°.
Równa odległość od ramion kąta
Dwusieczna kąta
Dwusieczna jest półprostą wychodzącą z wierzchołka i dzielącą kąt na dwa kąty o równych miarach. Rozważamy kąt większy od 0° i mniejszy od 180°. Punkt wewnątrz kąta leży na dwusiecznej wtedy i tylko wtedy, gdy ma równe odległości od jego ramion.
Odległość od ramienia mierzymy po odcinku prostopadłym, a nie wzdłuż dowolnie wybranej skośnej kreski. Odbicie względem dwusiecznej zamienia ramiona miejscami i zachowuje odległości.
Konstrukcja i obliczenie kąta
- Z wierzchołka O zatocz łuk przecinający ramiona w E i F. Wtedy OE = OF.
- Z E i F narysuj łuki o jednakowym promieniu, wystarczającym do przecięcia wewnątrz kąta. Nazwij to przecięcie K.
- Poprowadź półprostą OK: jest dwusieczną. Trójkąty OEK i OFK mają trzy pary równych boków, więc kąty przy O są równe.
- Jeśli cały kąt ma 60°, każda część ma 60°/2 = 30°.
Podobne nazwy, inne obiekty
Symetralna dotyczy odcinka i jest prostą; dwusieczna dotyczy kąta i jest półprostą. Sama prostopadłość bez przejścia przez środek nie wystarcza do bycia symetralną.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Potrzebujesz środka.
Rozwiązanie zadania 1
W punkcie M odległym o 4 cm od A i o 4 cm od B, pod kątem 90°.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Zastosuj własność równych odległości.
Rozwiązanie zadania 2
PB = 7 cm.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Podziel przez 2.
Rozwiązanie zadania 3
37°. Suma 37° + 37° = 74°.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Odległości muszą być równe.
Rozwiązanie zadania 4
Nie, 3 ≠ 5.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Sprawdź drugi warunek definicji.
Rozwiązanie zadania 5
Nie. Musi być prostopadła, czyli tworzyć kąt 90°.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Łuki mają się przeciąć w dwóch punktach.
Rozwiązanie zadania 6
Użyj tego samego promienia większego niż 3 cm z obu końców. Połącz przecięcia łuków. Kontrola: podział AB na 3 cm i 3 cm oraz kąt 90°.
Zadanie 7
Wskazówka do zadania 7
Zaznacz na ramionach punkty E i F w tej samej odległości od wierzchołka.
Rozwiązanie zadania 7
Z E i F zatocz łuki o wspólnym promieniu i połącz wierzchołek kąta z przecięciem łuków wewnątrz kąta. Powstała półprosta dzieli kąt na 30° i 30°. Sprawdź kątomierzem.
Co warto zachować w pamięci?
Symetralna: środek, prostopadłość, równe odległości od końców. Dwusieczna: połowy kąta i równe prostopadłe odległości od ramion.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
