10. Współliniowość punktów w układzie współrzędnych
Trzy kropki mogą na szkicu wyglądać, jakby leżały na jednej prostej, choć jedna jest trochę przesunięta. Rachunek na współrzędnych pozwala rozstrzygnąć to dokładnie, bez mierzenia linijką ekranu.
Po tej lekcji: Sprawdzisz rachunkowo współliniowość trzech punktów, także na prostej pionowej, i dobierzesz kolejny punkt.
Potrzebne podstawy: Znasz współrzędne, różnice liczb ze znakami i mnożenie.
Ten sam kierunek przesunięcia
Współliniowość
Punkty są współliniowe, gdy istnieje prosta przechodząca przez wszystkie z nich. Dwa różne punkty A i B wyznaczają jedną prostą; sprawdzamy, czy leży na niej C.
Od A do B policz przesunięcie poziome oraz pionowe. Od A do C policz drugą parę. Jeśli oba przesunięcia pierwszej pary pomnożymy przez tę samą liczbę k i otrzymamy drugą parę, kierunek pozostaje wspólny. k może być ujemne: wtedy idziemy po tej samej prostej w przeciwną stronę.
A(0, 0), B(2, 1), C(6, 3)
- Od A do B: 2 w prawo i 1 w górę. Para przyrostów to (2, 1).
- Od A do C: (6, 3).
- 6 = 3 · 2 i 3 = 3 · 1: jeden wspólny mnożnik k = 3. Punkty są współliniowe.
Test bez dzielenia
Porównanie iloczynów
Dla A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), przy A ≠ B, współliniowość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (x₂ − x₁)(y₃ − y₁) = (y₂ − y₁)(x₃ − x₁).
Gdy poziome przesunięcie nie jest zerem, test porównuje stosunek pionowego przesunięcia do poziomego. Mnożenie obu stron przez mianowniki usuwa dzielenie. Dzięki temu zapis działa także dla prostej pionowej. Zawsze licz oba przyrosty od tego samego punktu A.
A(1, 1), B(3, 2), C(7, 5)
- Przyrosty A → B to (2, 1), a A → C to (6, 4).
- Porównaj iloczyny: 2 · 4 = 8 oraz 1 · 6 = 6.
- 8 ≠ 6, więc punkty nie są współliniowe. Poziomy przyrost jest trzykrotny, pionowy czterokrotny — nie ma wspólnego mnożnika.
Pion i punkty pokrywające się
A(2, −1), B(2, 3), C(2, 5)
- Wszystkie pierwsze współrzędne są równe 2, więc punkty leżą na pionowej prostej x = 2.
- W teście: 0 · 6 = 4 · 0, czyli 0 = 0. Nie trzeba dzielić przez zero.
Jeśli A = B, wybierz dwa inne różne punkty jako parę wyznaczającą prostą. Gdy wśród trzech zapisów są najwyżej dwa różne punkty, zawsze istnieje prosta zawierająca wszystkie. Nie używaj wtedy zerowych przyrostów jako informacji o kierunku.
Współliniowy nie znaczy „pomiędzy”
C może leżeć za B lub po przeciwnej stronie A. Bycie na odcinku AB jest dodatkowym warunkiem, nie częścią definicji współliniowości.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Porównaj przyrosty od A.
Rozwiązanie zadania 1
(2, 1) oraz (6, 3) = 3 · (2, 1), więc tak.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Porównaj iloczyny 2 · 6 i 3 · 4.
Rozwiązanie zadania 2
12 = 12, więc punkty są współliniowe.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Przyrosty to (2, 1) oraz (4, 3).
Rozwiązanie zadania 3
2 · 3 = 6, a 1 · 4 = 4, więc nie.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Pomnóż oba przyrosty przez 2.
Rozwiązanie zadania 4
Np. C(8, 4); (8, 4) = 2 · (4, 2).
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Pierwsze dwa punkty wyznaczają pion x = 3.
Rozwiązanie zadania 5
Nie, trzeci punkt ma x = 4, a nie 3.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Wspólny mnożnik może być ujemny.
Rozwiązanie zadania 6
Tak, k = −1. C nie leży na odcinku AB; jest po przeciwnej stronie A niż B.
Co warto zachować w pamięci?
Liczymy dwie pary przyrostów od wspólnego punktu. Jeden mnożnik lub równe iloczyny potwierdzają współliniowość; szkic jest pomocą, nie dowodem.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
