9. Odcinek w układzie współrzędnych: środek i długość
Droga po dwóch bokach prostokąta jest dłuższa niż przekątna. Współrzędne pozwolą obliczyć te boki, a twierdzenie Pitagorasa — bezpośrednią odległość między punktami.
Po tej lekcji: Obliczysz środek i długość odcinka oraz odtworzysz drugi koniec ze znanego środka.
Potrzebne podstawy: Odczytujesz współrzędne; znasz średnią dwóch liczb i twierdzenie Pitagorasa.
Środek leży w połowie obu przesunięć
Środek odcinka
Dla A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂) środek M ma współrzędne ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Indeksy 1 i 2 odróżniają dane punktu A od danych punktu B, nie oznaczają potęg.
W poziomie przechodzimy połowę różnicy współrzędnych: x₁ + (x₂ − x₁)/2 = (x₁ + x₂)/2. Tak samo w pionie. Dlatego liczymy dwie osobne średnie — nigdy średnią x z y.
A(−1, 2), B(5, −2): oblicz M
- Pierwsza współrzędna: (−1 + 5)/2 = 2.
- Druga współrzędna: (2 + (−2))/2 = 0.
- Środek to M(2, 0). Od A do M przesuwamy się o 3 w prawo i 2 w dół; od M do B dokładnie tak samo.
Odległość wynika z trójkąta prostokątnego
Długość odcinka
Przy jednakowej jednostce obu osi: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Pionowe kreski wokół AB oznaczają długość odcinka. Pod pierwiastkiem znajduje się cała suma kwadratów.
Oblicz długość AB z rysunku
- Różnica pozioma: 5 − (−1) = 6. Różnica pionowa: −2 − 2 = −4; długość pionowej przyprostokątnej to 4.
- Z Pitagorasa: |AB|² = 6² + (−4)² = 36 + 16 = 52.
- |AB| = √52 = 2√13 jednostek. Nie dodajemy 6 + 4: to długość łamanej, nie przekątnej.
- Zamiana kolejności punktów zmienia znaki różnic, ale nie ich kwadraty, więc odległość pozostaje taka sama.
Środek pomaga znaleźć brakujący koniec
A(0, 2), M(3, 1). Wyznacz B
- Środek spełnia (0 + x₂)/2 = 3, więc x₂ = 6.
- Druga współrzędna: (2 + y₂)/2 = 1, więc 2 + y₂ = 2 i y₂ = 0.
- B(6, 0). Kontrola: średnie końców to 3 oraz 1.
- Można też powtórzyć przesunięcie A → M: o 3 w prawo i 1 w dół. Od M daje to B.
Suma dla środka, różnica dla odległości
Środek opisuje położenie, więc jest punktem z dwiema współrzędnymi. Długość jest jedną nieujemną liczbą z jednostką. Jeśli końce są różne, długość jest dodatnia.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Uśredniaj współrzędne osobno.
Rozwiązanie zadania 1
M((2 + 6)/2, (1 + 5)/2) = M(4, 3).
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Różnice wynoszą 3 i 4.
Rozwiązanie zadania 2
√(9 + 16) = 5 jednostek.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Różnice to 4 i −6.
Rozwiązanie zadania 3
√(16 + 36) = √52 = 2√13 jednostek.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Podwój współrzędne M i odejmij współrzędne A.
Rozwiązanie zadania 4
B(2 · 1 − (−2), 2 · 3 − 1) = B(4, 5). Średnie: 1 i 3.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Pionowe przesunięcie to zero.
Rozwiązanie zadania 5
√(7² + 0²) = 7 jednostek.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Suma współrzędnych może być nieparzysta.
Rozwiązanie zadania 6
Nie. Dla (0, 0) i (1, 1) środkiem jest (1/2, 1/2), który nie jest kratowy.
Co warto zachować w pamięci?
Środek: dwie średnie. Długość: pierwiastek z sumy kwadratów różnic. Brakujący koniec: powtórzenie przesunięcia do środka.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
