6. Kąty przyległe i wierzchołkowe – obliczenia w zadaniach
Przy przecięciu dwóch prostych wystarczy znać jeden kąt, aby znaleźć pozostałe trzy. Najważniejsze pytanie brzmi: czy szukany kąt jest obok, czy naprzeciwko?
Po tej lekcji: Obliczysz kąty przyległe i wierzchołkowe oraz uzasadnisz użyte zależności.Na początek: Znasz kąty proste i półpełne oraz potrafisz rozwiązać proste równanie.
Położenie decyduje o regule
Kąty przyległe mają wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona są półprostymi przeciwnymi. Ich suma wynosi 180°. Kąty wierzchołkowe powstają z dwóch przecinających się prostych i leżą naprzeciwko siebie; ich miary są równe.
{"version":1,"elements":[{"type":"line","attrs":{"x1":55,"y1":160,"x2":545,"y2":160,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"line","attrs":{"x1":235,"y1":272.583302491977,"x2":365,"y2":47.41669750802298,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"text","attrs":{"x":374,"y":128,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"60°"}},{"type":"text","attrs":{"x":226,"y":205,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"60°"}},{"type":"text","attrs":{"x":270,"y":82,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"120°"}},{"type":"text","attrs":{"x":330,"y":256,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"120°"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":300,"cy":160,"r":3,"fill":"#1769D3"}}]}
Dlaczego kąty wierzchołkowe są równe? Każdy z nich dopełnia ten sam sąsiedni kąt do 180°. Jeśli sąsiad ma miarę β, oba mają 180° − β. Nie musimy ich osobno mierzyć.
Przykład: jeden dany kąt 60°
- Kąt naprzeciwko jest wierzchołkowy, więc też ma 60°.
- Kąt obok jest przyległy, więc ma 180° − 60° = 120°.
- Czwarty kąt jest wierzchołkowy do kąta 120°, więc ma 120°.
- Kontrola wokół punktu: 60° + 120° + 60° + 120° = 360°.
Gdy zamiast liczby pojawia się niewiadoma
Przyległe kąty x i 3x
Zapis x oznacza miarę mniejszego kąta w stopniach.
- Położenie przyległe daje równanie x + 3x = 180.
- Łączymy składniki: 4x = 180, zatem x = 45.
- Większy kąt ma 3 · 45° = 135°.
- Kontrolujemy sumę: 45° + 135° = 180°.
Gdyby kąty były wierzchołkowe, należałoby przyrównać ich miary, a nie sumować do 180°.
„Obok siebie” nie wystarcza. Dwa kąty mogą mieć wspólne ramię, lecz nie być przyległe. Trzeba jeszcze sprawdzić, czy pozostałe ramiona tworzą prostą. Dwa kąty po 40° nie stają się przyległe tylko dlatego, że narysowano je obok siebie.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Naprzeciwko przepisz, obok odejmij od 180°.
Rozwiązanie i kontrola
43°, 137°, 43°. Każda sąsiednia para daje 180°.
Zadanie 2
Wskazówka
Zapisz sumę równą 180.
Rozwiązanie i kontrola
3x = 180, więc x = 60. Miary wynoszą 60° i 120°.
Zadanie 3
Wskazówka
Kąty wierzchołkowe są równe.
Rozwiązanie i kontrola
x + 15° = 70°, więc x = 55°. Oba kąty mają 70°.
Zadanie 4
Wskazówka
Sprawdź konieczną sumę.
Rozwiązanie i kontrola
Nie. Ich suma to 110°, a przyległe muszą sumować się do 180°.
Zadanie 5
Wskazówka
Rozwiąż 2x = 180.
Rozwiązanie i kontrola
Tak, gdy każdy ma 90°. Powstają wtedy przy przecięciu prostych prostopadłych.
Co warto zachować w pamięci?
Wierzchołkowe: równe miary. Przyległe: suma 180°. Najpierw rozpoznaj relację, dopiero potem wybierz działanie.
