Kąty przyległe i wierzchołkowe — szybko i pewnie (Egzamin 8-klasisty)
Hook / Misja
Na egzaminie często pojawia się rysunek z dwiema przecinającymi się prostymi i pytanie o miary kątów. Twoja misja: w 10–20 sekund rozpoznać, które kąty są równe, a które sumują się do \(180^\circ\).
Cel lekcji
- Rozpoznasz kąty wierzchołkowe i przyległe na rysunku.
- Zastosujesz dwie kluczowe własności: równość i sumę do \(180^\circ\).
- Rozwiążesz typowe zadania egzaminacyjne (także z wyrażeniami typu \(2x-20^\circ\)).
Najważniejsze pojęcia (krótko i po ludzku)
-
Kąty przyległe — mają wspólny wierzchołek i jedno wspólne ramię, leżą po przeciwnych stronach tego ramienia i razem tworzą kąt półpełny (prostą).
Ich miary sumują się do: \[ \alpha + \beta = 180^\circ. \] -
Kąty wierzchołkowe — powstają przy przecięciu dwóch prostych i leżą naprzeciwko siebie (są „po przekątnej”).
Zawsze mają równe miary, np.: \[ \alpha = \gamma. \]
Najważniejsze własności (do zapamiętania na 1 minutę)
- Wierzchołkowe: naprzeciwko siebie \(\Rightarrow\) równe.
- Przyległe: obok siebie na prostej \(\Rightarrow\) suma \(180^\circ\).
- Gdy dwie proste się przecinają, powstają 4 kąty: dwie pary wierzchołkowych (równe) i każde dwa sąsiednie są przyległe (suma \(180^\circ\)).
Schemat rozwiązywania zadań (2–3 kroki)
- Znajdź parę wierzchołkowych (naprzeciwko siebie) i przepisz równość miar.
- Znajdź przyległe (sąsiednie na prostej) i zapisz równanie: \(\text{kąt} + \text{kąt} = 180^\circ\).
- Policz brakujące i (jeśli trzeba) wróć do kroku 1–2, aby wyznaczyć kolejne kąty.
Przykład 1 — przyległe (najprostszy typ)
Dane: kąty przyległe \(\alpha\) i \(\beta\), \(\alpha = 110^\circ\). Oblicz: \(\beta\).
Skoro są przyległe, to:
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]Podstawiamy:
\[ 110^\circ + \beta = 180^\circ \Rightarrow \beta = 70^\circ. \]Przykład 2 — przecięcie prostych (wierzchołkowe + przyległe)
Dane: dwie proste przecinają się. Jeden z kątów ma miarę \(\alpha = 50^\circ\). Kąt naprzeciwko niego oznaczmy \(\gamma\), a kąt przyległy do \(\alpha\) — \(\beta\). Oblicz: \(\gamma\) i \(\beta\).
- Kąty wierzchołkowe są równe, więc: \[ \gamma = \alpha = 50^\circ. \]
- Kąty przyległe sumują się do \(180^\circ\), więc: \[ \alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow \beta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ. \]
Pułapka (częsty błąd)
- Nie myl „naprzeciwko” z „obok”. Kąty wierzchołkowe są po przekątnej i są równe. Kąty przyległe są obok i ich suma wynosi \(180^\circ\).
- Uważaj na zapis w stopniach. Gdy w równaniu pojawia się \(2x-20^\circ\), to odejmowanie dotyczy miary kąta (w stopniach).
Sprawdź się
- Kąty przyległe mają miary \(\alpha = 35^\circ\) i \(\beta\). Oblicz \(\beta\).
- Dwie proste przecinają się. Jeden kąt ma miarę \(118^\circ\). Podaj miary pozostałych trzech kątów.
- Dwie proste przecinają się; jeden kąt ma miarę \(x\). Kąt przyległy ma miarę \(2x - 20^\circ\). Znajdź \(x\).
- Przy przecięciu prostych kąt \(\alpha\) ma miarę \(3x + 10^\circ\), a kąt wierzchołkowy do niego ma miarę \(5x - 30^\circ\). Znajdź \(x\) i miarę \(\alpha\).
Odpowiedzi
Zadanie 1
Kąty przyległe: \(\alpha + \beta = 180^\circ\).
\[ 35^\circ + \beta = 180^\circ \Rightarrow \beta = 145^\circ. \]Zadanie 2
Jeśli jeden kąt ma \(118^\circ\), to kąt wierzchołkowy też ma \(118^\circ\). Dwa kąty przyległe do \(118^\circ\) mają:
\[ 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ. \]Zatem pozostałe kąty to: \(118^\circ\), \(62^\circ\), \(62^\circ\).
Zadanie 3
Kąty przyległe sumują się do \(180^\circ\):
\[ x + (2x - 20^\circ) = 180^\circ \] \[ 3x - 20^\circ = 180^\circ \Rightarrow 3x = 200^\circ \Rightarrow x = \frac{200^\circ}{3} \approx 66{,}67^\circ. \]Zadanie 4
Kąty wierzchołkowe są równe:
\[ 3x + 10^\circ = 5x - 30^\circ \] \[ 10^\circ + 30^\circ = 5x - 3x \Rightarrow 40^\circ = 2x \Rightarrow x = 20. \]Wtedy:
\[ \alpha = 3\cdot 20 + 10^\circ = 70^\circ. \]