5. Redukcja wyrazów podobnych i sumy algebraiczne
Trzy jednakowe odcinki o długości x i dwa takie same odcinki mają łączną długość 5x. Nie można jednak w taki sam sposób połączyć długości x z polem x². Część literowa mówi, jakiego rodzaju składniki łączymy.
Po tej lekcji: Rozpoznasz wyrazy podobne, zredukujesz je i poprawnie dodasz lub odejmiesz sumy algebraiczne.
Potrzebne podstawy: Znasz zapis wyrażeń, podstawianie liczb i dodawanie liczb ujemnych.
Najpierw rozpoznaj składniki
Jednomian i wyrazy podobne
Jednomian jest liczbą, literą lub ich iloczynem, np. −5x². Liczba −5 jest tu współczynnikiem, a x² częścią literową. Wyrazy podobne mają identyczną część literową, łącznie z wykładnikami. Wyraz x ma współczynnik 1, a −x współczynnik −1.
| Para | Czy podobne? | Powód |
|---|---|---|
| 3x, −5x | Tak | Ta sama część x. |
| 2xy, 7yx | Tak | xy = yx. |
| 4x, 4x² | Nie | Różne wykładniki x. |
| 5, −2 | Tak | Oba są liczbami bez zmiennych. |
Sumę algebraiczną odczytuj jako składniki wraz ze znakami. W 3x − 5 + 2x składnikami są 3x, −5 i 2x. Minus nie może zostać zgubiony przy zmianie ich kolejności.
Redukcja zachowuje część literową
Uprość 3x − 5 + 2x + 8
- Grupuj podobne składniki razem ze znakami: (3x + 2x) + (−5 + 8).
- Dodaj współczynniki: 3x + 2x = (3 + 2)x = 5x.
- Dodaj liczby: −5 + 8 = 3. Wynik to 5x + 3.
- Kontrola dla x = 2: wyjściowo 6 − 5 + 4 + 8 = 13, po uproszczeniu 10 + 3 = 13.
Nawias poprzedzony minusem
Odejmujesz wszystkie składniki
Dodanie sumy nie zmienia znaków: a + (b − c) = a + b − c. Odjęcie sumy wymaga dodania liczby przeciwnej do każdego jej składnika: a − (b − c) = a − b + c.
Na liczbach widać sens reguły: 10 − (4 − 1) = 10 − 3 = 7. Po usunięciu nawiasu 10 − 4 + 1 też daje 7. Zapis 10 − 4 − 1 dałby 5, więc nie opisuje tego samego działania.
Uprość (2x + 3) − (x − 5)
- Pierwszy nawias nie zmienia znaków. Minus przed drugim zmienia znak x na −x, a −5 na +5.
- Otrzymujemy 2x + 3 − x + 5.
- Łączymy podobne wyrazy: (2 − 1)x + (3 + 5) = x + 8.
Dodaj (3x + 2) + (x − 7)
- Przed drugim nawiasem jest plus, więc znaki pozostają: 3x + 2 + x − 7.
- Redukujemy: 4x − 5.
Kontrola liczbowa nie zastępuje uzasadnienia
Zgodność dla jednej wartości x pomaga wykrywać błędy, ale nie dowodzi równości wyrażeń dla wszystkich x. Uzasadnieniem uproszczenia są reguły działań. Na przykład x² i x są równe dla x = 1, lecz nie dla x = 2.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Porównaj całą część literową.
Rozwiązanie zadania 1
−a² i 7a².
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Zachowaj znaki współczynników.
Rozwiązanie zadania 2
(5 − 2 + 3)a = 6a.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Oddziel liczby od składników z x.
Rozwiązanie zadania 3
11x + 7.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Zmień oba znaki w drugim nawiasie.
Rozwiązanie zadania 4
2y − 5 − 3y − 1 = −y − 6.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Odejmowanie −9 daje +9.
Rozwiązanie zadania 5
6p − 4 − 2p + 9 = 4p + 5.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Jeden udany test nie wystarcza.
Rozwiązanie zadania 6
Dla 1 obie strony dają 5, ale dla 2 lewa daje 4 + 12 = 16, prawa 40. Wyrazy x i x² nie są podobne.
Co warto zachować w pamięci?
Łącz współczynniki tylko przy tej samej części literowej. Przy odejmowaniu nawiasu zmień znak każdego składnika.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
