6. Mnożenie sumy przez jednomian i wyłączanie czynnika
Prostokątną planszę można policzyć jako jedną powierzchnię albo jako sumę dwóch części. Obie drogi muszą dać ten sam wynik — to geometryczna intuicja rozdzielności mnożenia.
Po tej lekcji: Pomnożysz sumę przez jednomian i wyłączysz wspólny czynnik przed nawias. Wyjaśnisz związek obu działań.
Potrzebne podstawy: Rozpoznajesz jednomiany i wyrazy podobne; znasz iloczyny liczb ujemnych oraz x · x = x².
Jeden mnożnik, każdy składnik
Rozdzielność
a(b + c) = ab + ac oraz a(b − c) = ab − ac. Mnożnik a działa na każdy składnik w nawiasie, nie tylko na pierwszy. Reguła działa także dla liczb ujemnych, choć model długości stosujemy do liczb dodatnich.
Rozwiń −3(2y − 5)
- Pomnóż −3 przez pierwszy składnik: (−3) · 2y = −6y.
- Pomnóż −3 przez drugi składnik −5: (−3) · (−5) = 15.
- Połącz: −6y + 15. Oba składniki zostały pomnożone.
- Kontrola dla y = 2: −3(4 − 5) = 3 oraz −12 + 15 = 3.
Mnożnik też może zawierać literę
Rozwiń 2x(3x − 4)
- Pierwszy iloczyn: 2x · 3x = 2 · 3 · x · x = 6x².
- Drugi iloczyn: 2x · (−4) = −8x.
- Wynik: 6x² − 8x. Nie redukuj x² z x, bo to różne części literowe.
Ta sama równość czytana od prawej do lewej
Wyłączanie wspólnego czynnika
Zapis ab + ac = a(b + c) zamienia sumę na iloczyn. Wybierz czynnik występujący w każdym składniku. To, co zostaje w nawiasie, sprawdzisz, mnożąc z powrotem.
Zapisz 8a + 12 jako iloczyn
- Wspólnym czynnikiem 8 i 12 jest 4: 8a = 4 · 2a, 12 = 4 · 3.
- Wyłącz 4: 8a + 12 = 4(2a + 3).
- Kontrola przez rozwinięcie: 4 · 2a + 4 · 3 = 8a + 12.
Wyłącz 3x z 6x² − 9x
- 6x² = 3x · 2x, a −9x = 3x · (−3).
- Zatem 6x² − 9x = 3x(2x − 3).
- To równość także dla x = 0: obie strony wynoszą 0. Nie trzeba dzielić równania przez x.
Nie zostawiaj drugiego składnika bez zmiany
3(x + 4) nie jest równe 3x + 4: należy otrzymać 3x + 12. W drugą stronę 6x + 6 = 6(x + 1), nie 6(x + 0). Jedynka zachowuje drugi składnik 6.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Pomnóż także 7.
Rozwiązanie zadania 1
2x + 14.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.
Rozwiązanie zadania 2
−8a + 12.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
x · x = x².
Rozwiązanie zadania 3
3x² + 6x.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
9 i 6 dzielą się przez 3.
Rozwiązanie zadania 4
3(3x − 2); po rozwinięciu wraca 9x − 6.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Drugi składnik to 2a · 1.
Rozwiązanie zadania 5
2a(2a + 1).
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Rozwiń oba iloczyny przed redukcją.
Rozwiązanie zadania 6
2x + 6 − 3x + 3 = −x + 9.
Co warto zachować w pamięci?
Rozwinięcie nawiasu i wyłączenie czynnika to dwa kierunki tej samej reguły. Najlepsza kontrola wyłączenia to ponowne wymnożenie.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
