10. Proste równoległe: kąty odpowiadające i naprzemianległe
Jedna znana miara może wystarczyć do ustalenia siedmiu kolejnych. Trzeba jednak wiedzieć, które relacje wynikają z samego przecięcia, a które wymagają równoległości dwóch prostych.
Po tej lekcji: Rozpoznasz kąty odpowiadające i naprzemianległe oraz obliczysz miary kątów przy prostych równoległych.
Potrzebne podstawy: Wiesz, że kąt półpełny ma 180°, a pełny 360°. Znasz znaczenie kąta i prostej.
Najpierw jedno przecięcie
Kąty przyległe i wierzchołkowe
Kąty przyległe mają wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą; ich suma wynosi 180°. Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych i są równe. Nie wymagamy tu dodatkowej pary prostych równoległych.
Na rysunku kąty 1 i 2 są przyległe, a 1 i 3 wierzchołkowe. Kąty 2 i 4 również są wierzchołkowe. Sieczna s to prosta przecinająca l i m w dwóch różnych punktach. Rysunek ustala położenie numerów; nie odczytujemy z niego miar za pomocą linijki.
Dwa przecięcia: szukaj tej samej pozycji
Kąty odpowiadające
Zajmują tę samą pozycję przy obu przecięciach, np. nad prostą i po prawej stronie siecznej. Gdy l ∥ m, są równe: 1 = 5, 2 = 6, 3 = 7 i 4 = 8. Równości dotyczą miar kątów oznaczonych numerami.
Para 2 i 6 leży „nad swoją prostą i po prawej od siecznej”. To sposób identyfikacji, który nie zależy od kolorów. Równość wynika z równoległości, nie z tego, że kąty na szkicu wyglądają podobnie.
Wewnętrzne kąty po przeciwnych stronach siecznej
Kąty naprzemianległe wewnętrzne
Leżą między prostymi l i m, po przeciwnych stronach siecznej, przy różnych punktach przecięcia. Na rysunku to pary 3 i 5 oraz 4 i 6. Przy l ∥ m ich miary są równe.
Można to uzasadnić znanymi relacjami: 4 = 2 jako kąty wierzchołkowe, a 2 = 6 jako odpowiadające. Zatem 4 = 6. Kąty naprzemianległe zewnętrzne leżą poza pasem między prostymi; tutaj to pary 1 i 7 oraz 2 i 8. One także są równe przy równoległości.
Pełne rozwiązanie z uzasadnieniami
Przyjmij, że kąt 2 ma 60°. Oblicz pozostałe
- Kąt 4 ma 60° — jest wierzchołkowy do 2.
- Kąt 1 ma 180° − 60° = 120° — jest przyległy do 2. Kąt 3 ma 120° jako wierzchołkowy do 1.
- Kąty odpowiadające dają: 5 = 120°, 6 = 60°, 7 = 120°, 8 = 60°.
- Kontrola przy dolnym przecięciu: 120° + 60° + 120° + 60° = 360°.
Warunek, którego nie wolno pominąć
Bez informacji l ∥ m nie przenosimy miar z jednego przecięcia na drugie. Przyległość i wierzchołkowość nadal działają przy każdym przecięciu osobno. W ćwiczeniach numery odnoszą się do tego samego schematu położeń; podane miary mogą być inne niż w przykładzie.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Ta sama pozycja przy dolnym przecięciu.
Rozwiązanie zadania 1
Kąt 7.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Między prostymi, po drugiej stronie siecznej.
Rozwiązanie zadania 2
Kąt 6.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Odpowiadające są równe, przyległe sumują się do 180°.
Rozwiązanie zadania 3
6 ma 65°, a 1 ma 180° − 65° = 115°.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
5 jest naprzemianległy do 3.
Rozwiązanie zadania 4
5 ma 110°, a 4 ma 70° jako przyległy do 3.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Oddziel jedno przecięcie od dwóch.
Rozwiązanie zadania 5
4 ma 50° jako wierzchołkowy. Miary 6 nie da się jednoznacznie wyznaczyć bez dodatkowych danych.
Co warto zachować w pamięci?
Najpierw rozpoznaj położenie kątów, potem nazwij regułę. Równość kątów odpowiadających i naprzemianległych stosuj przy prostych równoległych.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
