9. Proporcjonalność prosta i podział proporcjonalny
Kilogram jabłek kosztuje 3 zł. Dwa razy większa masa oznacza dwa razy większy koszt, jeśli cena jednostkowa się nie zmienia i nie ma dodatkowych opłat. To ważne warunki, a nie drobne szczegóły.
Po tej lekcji: Rozpoznasz proporcjonalność prostą, obliczysz brakującą wartość i podzielisz wielkość w podanym stosunku.
Potrzebne podstawy: Znasz ilorazy, ułamki i proste wyrażenia algebraiczne.
Stały iloraz opisuje zależność
Proporcjonalność prosta
Wielkości x i y są wprost proporcjonalne, gdy y = kx ze stałym współczynnikiem k. Dla x ≠ 0 iloraz y/x jest równy k. W dodatnich wielkościach praktycznych k > 0: pomnożenie x przez daną liczbę mnoży y przez tę samą liczbę.
| Masa x [kg] | Koszt y [zł] | y/x [zł/kg] |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 4 | 12 | 3 |
| 7 | 21 | 3 |
Tutaj k = 3 zł/kg. Nie wystarczy, że „obie liczby rosną”. Muszą rosnąć w tym samym stosunku. Równe ilorazy w tabeli są zgodne z podaną zasadą stałej ceny. Bez informacji o zasadzie sama krótka tabela nie opisuje wszystkich możliwych zakupów.
Najpierw jedna jednostka
4 kg kosztują 12 zł. Ile kosztuje 7 kg?
- Warunek: ta sama cena za kilogram, bez rabatów i opłat stałych.
- Koszt 1 kg: 12 : 4 = 3 zł.
- Koszt 7 kg: 7 · 3 = 21 zł.
- Kontrola: 7/4 razy większa masa daje 7/4 razy większy koszt: 12 · 7/4 = 21.
Kontrprzykład: doliczona opłata
Jeśli koszt wynosi y = 3x + 5, bo dostawa kosztuje 5 zł, nie jest on wprost proporcjonalny do masy. Dla x = 1 iloraz to 8/1 = 8, a dla x = 2 wynosi 11/2 = 5,5. Podwojenie masy nie podwaja kosztu.
Stosunek nie podaje jeszcze liczby jednostek
Podział proporcjonalny
Stosunek 2 : 3 oznacza, że pierwsza część zawiera dwie, a druga trzy jednakowe jednostki podziału. Całość zawiera pięć jednostek. Nie oznacza to podzielenia całości osobno przez 2 i przez 3.
Podziel 60 zł w stosunku 2 : 3
- Dodaj liczby stosunku: 2 + 3 = 5.
- Jedna jednostka podziału ma wartość 60 : 5 = 12 zł.
- Kwoty: 2 · 12 = 24 zł i 3 · 12 = 36 zł.
- Sprawdź sumę 24 + 36 = 60 oraz stosunek 24 : 36 = 2 : 3.
Podziel 90 w stosunku 1 : 2 : 3
- Liczba równych jednostek: 1 + 2 + 3 = 6.
- Jedna jednostka: 90 : 6 = 15.
- Części: 15, 30 i 45. Suma wynosi 90, a po podzieleniu każdej części przez 15 otrzymujemy 1 : 2 : 3.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Współczynnik stoi przy x.
Rozwiązanie zadania 1
k = 3; y = 3 · 7 = 21.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Oblicz cenę 1 kg.
Rozwiązanie zadania 2
18 : 3 = 6 zł/kg; 5 · 6 = 30 zł.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Porównaj ilorazy dla x = 1 i x = 2.
Rozwiązanie zadania 3
Nie: 6/1 = 6, a 8/2 = 4.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Jednostek jest 7.
Rozwiązanie zadania 4
84 : 7 = 12; kwoty 36 zł i 48 zł.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Suma liczb stosunku to 6.
Rozwiązanie zadania 5
Jednostka 20; części 20, 40, 60.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
O = 2a + 6; porównaj a = 1 i a = 2.
Rozwiązanie zadania 6
Nie. Obwody to 8 i 10 cm, więc ilorazy O/a wynoszą 8 i 5.
Co warto zachować w pamięci?
Proporcjonalność wymaga stałego ilorazu, nie tylko wspólnego wzrostu. Przy podziale kontroluj zarówno sumę części, jak i ich stosunek.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
