11. Przystawanie trójkątów i nierówność trójkąta
Dwa trójkątne elementy układanki mogą pasować do tego samego otworu mimo obrócenia lub odwrócenia. Liczy się ich rozmiar i kształt, a nie położenie na kartce.
Po tej lekcji: Rozpoznasz cechy przystawania BBB, BKB i KBK oraz sprawdzisz możliwość zbudowania trójkąta z podanych długości.
Potrzebne podstawy: Znasz boki i kąty trójkąta, sumę kątów 180° oraz porównywanie długości.
Przystawanie oznacza dokładne dopasowanie
Trójkąty przystające
Dwa trójkąty są przystające, jeśli można je na siebie nałożyć tak, aby się pokryły. Odpowiednie boki mają wtedy równe długości, a odpowiednie kąty równe miary. Do porównania trzeba ustalić, które wierzchołki sobie odpowiadają.
Nie trzeba sprawdzać wszystkich sześciu wielkości
| Cecha | Wystarczające dane dla pary trójkątów |
|---|---|
| BBB | Trzy pary odpowiednich boków są równe. |
| BKB | Dwie pary odpowiednich boków i kąty zawarte między nimi są równe. |
| KBK | Dwie pary odpowiednich kątów i boki leżące między nimi są równe. |
Jak rozpoznać właściwą cechę?
- Trójkąty o bokach 3 cm, 4 cm i 5 cm są przystające na mocy BBB, niezależnie od ułożenia.
- Jeśli w obu trójkątach boki 4 cm i 6 cm tworzą kąt 50°, działa BKB. Kąt musi być właśnie między tymi bokami.
- Jeśli bok 7 cm w obu trójkątach łączy wierzchołki kątów 40° i 60°, działa KBK. Podany bok leży między tymi kątami.
Same kąty nie ustalają rozmiaru
Trójkąty równoboczne o bokach 2 cm i 5 cm mają po trzy kąty 60°, lecz nie są przystające. Równość trzech kątów nie jest cechą przystawania.
Najpierw sprawdź, czy trójkąt w ogóle istnieje
Nierówność trójkąta
Długości a, b, c muszą być dodatnie i spełniać a + b > c, a + c > b, b + c > a. Wystarczy sprawdzić, czy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego. Przy równości odcinki układają się na prostej, nie tworzą trójkąta.
Porównaj zestawy 4, 5, 9 oraz 4, 5, 8
- Dla 4, 5, 9 suma dwóch krótszych wynosi 9. Nie jest większa od 9, więc trójkąta nie ma.
- Dla 4, 5, 8 otrzymujemy 4 + 5 = 9 > 8. Wszystkie długości są dodatnie, więc trójkąt istnieje.
Dwa boki mają 7 cm i 10 cm. Jakie może być c?
- Z 7 + c > 10 wynika c > 3.
- Z 7 + 10 > c wynika c < 17. Trzecia nierówność jest wtedy automatycznie spełniona.
- Zatem 3 cm < c < 17 cm. Końce przedziału są wykluczone; c nie musi być liczbą całkowitą.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Sprawdź sumę dwóch krótszych.
Rozwiązanie zadania 1
Nie: 2 + 3 = 5 < 6.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Równe krótsze boki też dodajemy.
Rozwiązanie zadania 2
Tak: 5 + 5 = 10 > 8.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Różnica < c < suma.
Rozwiązanie zadania 3
5 cm < c < 13 cm.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Porównano trzy pary boków.
Rozwiązanie zadania 4
BBB. Trójkąt istnieje, bo 5 + 6 > 7.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Kąt znajduje się między znanymi bokami.
Rozwiązanie zadania 5
BKB.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Bok jest między dwoma znanymi kątami.
Rozwiązanie zadania 6
KBK. Same dwa kąty bez długości boku nie wystarczyłyby do ustalenia rozmiaru.
Co warto zachować w pamięci?
Istnienie trójkąta sprawdzaj nierównością, a przystawanie — odpowiednią cechą z poprawnie dobranymi bokami i kątami.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
